01 Mostre que se a, b, c são reais não negativos, então
(a+b)(a+c)(b+c) \geqslant 8 a b c .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer reais não negativos a,b,c, vale
(a+b)(a+c)(b+c)\ge8abc.
O conteúdo principal que vamos usar é a desigualdade de médias aritmética e geométrica (AM–GM), que afirma que para x,y\ge0 temos
x+y\ge2\sqrt{xy}.

Passo 2

Aplicamos a AM–GM a cada soma de dois termos:
a+b\ge2\sqrt{ab},\quad b+c\ge2\sqrt{bc},\quad c+a\ge2\sqrt{ca}.

Passo 3

Multiplicando as três desigualdades acima, obtemos
(a+b)(b+c)(c+a)\ge(2\sqrt{ab})\,(2\sqrt{bc})\,(2\sqrt{ca}) =8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc.

Resposta

(a+b)(a+c)(b+c)\ge8abc.

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