Prove que
é divisível por
para
ímpar.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro ímpar
, a soma
é múltipla de
. Vamos usar aritmética modular e explorar o fato de que
é ímpar, de modo que
módulo
.
Passo 2
Como
é ímpar, podemos agrupar os termos
e
para
. Note que ao trabalhar em
vale
pois
ímpar implica
.
Passo 3
Em cada par
somamos
São exatamente
desses pares, cobrindo todos os exatos
termos.
Passo 4
Somando todas as contribuições dos pares, obtemos
Resposta
Portanto,
é divisível por
sempre que
for ímpar.