Prove que 1^{n}+2^{n}+\ldots+(n-1)^{n} é divisível por n para n ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro ímpar n, a soma
S = 1^{n} + 2^{n} + \cdots + (n-1)^{n}
é múltipla de n. Vamos usar aritmética modular e explorar o fato de que n é ímpar, de modo que (-k)^{n} = -k^{n} módulo n.

Passo 2

Como n é ímpar, podemos agrupar os termos k e n-k para k=1,2,\dots,\frac{n-1}{2}. Note que ao trabalhar em \bmod n vale
(n - k)^{n} \equiv (-k)^{n} \equiv -\,k^{n}\pmod n,
pois n ímpar implica (-1)^{n}=-1.

Passo 3

Em cada par \{k,(n-k)\} somamos
k^{n} + (n-k)^{n} \equiv k^{n} + \bigl(-k^{n}\bigr) \equiv 0\pmod n.
São exatamente \tfrac{n-1}{2} desses pares, cobrindo todos os exatos n-1 termos.

Passo 4

Somando todas as contribuições dos pares, obtemos
S = \sum_{k=1}^{n-1} k^{n} \equiv 0 + 0 + \cdots + 0 \equiv 0\pmod n.

Resposta

Portanto, 1^{n} + 2^{n} + \cdots + (n-1)^{n} é divisível por n sempre que n for ímpar.

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