Considerando a aproximação de funções pelo método dos mínimos quadrados (mmq) resolva as equações utilizando as três formas de MMQ, são elas dedução, atualização de variáveis e formulação matricial apresentando, justificando e detalhando todos os cálculos.
x y
13 10
15 8
16 5
20 0
1^circ grau

Passo 1

Beleza, a questão pede que a gente ajuste uma reta de 1º grau (ou seja, (13,10),;(15,8),;(16,5),;(20,0) ) aos pontos
usando o método dos mínimos quadrados (MMQ).
Conteúdo: regressão linear simples, derivação das equações normais, algoritmo incremental de somas e formulação matricial.
O que vamos precisar:
  • Somar , , e ;
  • Saber derivar somatório de quadrados e igualar a zero (normal equations);
  • Montar matriz de projeto e vetor de observações .
A partir do próximo passo, partimos para a resolução de fato.

Passo 2

  1. Definimos o erro quadrático total
S(a,b) ;=;sumi=1^n l(yi - (a,xi + b)r)^2
  1. Para achar o mínimo de partial Spartial a = -2sumi xil(yi - (a,xi + b)r) ;=;0, partial Spartial b = -2sumi l(yi - (a,xi + b)r) ;=;0 , derivamos em relação a asum xi^2 + bsum xi = sum xi yi,[6pt] asum xi + n,b = sum yi e sum xi = 13+15+16+20 = 64, sum yi = 10+8+5+0 = 23, e igualamos a zero:
sum xi^2 = 13^2 +15^2 +16^2 +20^2 = 1,050, sum xi yi = 13cdot10 + 15cdot8 + 16cdot5 +20cdot0 = 330
  1. Essas duas igualdades geram as “equações normais”:
acdot1050 + bcdot64 = 330, acdot64 + 4b = 23
  1. Agora computamos as somas (com a = 4cdot330 - 64cdot234cdot1050 - 64^2 = 1320 - 14724200 - 4096 = -tfrac152104 = -tfrac1913 approx -1,4615, ):
b = sum yi - a,sum xin = 23 - (-tfrac1913cdot64)4 = 23 + tfrac1216134 = 1515/134 = 151552 approx 29,1346
  1. Substituindo nas normais:
Resolvendo o sistema (por exemplo, escanteando ou Cramer), obtemos

Passo 3

Aqui a ideia é acumular as somas “na marcha” (útil em streaming):
  1. Inicializamos tudo zerado:
    n n+1, Sx Sx + x, Sy Sy + y,
  2. Para cada ponto Sxx Sxx + x^2, Sxy Sxy + x,y fazemos:
a = n,Sxy - Sx,Syn,Sxx - Sx^2, b = Sy - a,Sxn,
  1. Passando pelos 4 pontos no mesmo ordem:
    • (13,10) → .
    • (15,8) → .
    • (16,5) → .
    • (20,0) → .
  2. No fim temos as mesmas somas do passo 2 e reaplicamos as fórmulas:
que levam ao mesmo , .

Passo 4

  1. Montamos a matriz de projeto X = 13 & 1 15 & 1 16 & 1 20 & 1 , y = 10850 e o vetor X^T X,boldsymbolbeta = X^T y, boldsymbolbeta = ab :
X^T X = sum xi^2 & sum xi sum xi & n = 1050 & 6464 & 4, X^Ty = sum xi yi sum yi = 33023
  1. As equações normais viram
boldsymbolbeta = (X^T X)^-1,X^Ty ;Longrightarrow; a=-tfrac1913, ;b=tfrac151552
  1. Calculamos
  1. Basta inverter ou usar Cramer:

Resposta

A reta que melhor ajusta os dados pelo MMQ de 1º grau é
boxed,y = -1913,x ;+;151552 ;approx;-1,4615,x ;+;29,1346,

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