Seja p um número primo. Prove que x^2 equiv 1(bmod p) se e somente se x= pm 1(bmod p).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Seja x^2 equiv 1 pmodp um primo. Prove que
x equiv pm 1 pmodp
se e somente se
Isso cai em teoria de aritmética modular, mais especificamente no fato de que é um corpo (ou seja, não tem divisores de zero). Vamos usar:
  1. O que significa “ ”.
  2. Que num corpo, se um produto é zero então um dos fatores é zero.

Passo 2

Provar que “se x^2 = (1 + kp)^2 = 1 + 2kp + k^2p^2 equiv 1 pmodp , então x^2 = (-1 + kp)^2 = 1 - 2kp + k^2p^2 equiv 1 pmodp ”.
  • Se , então escrevemos e aí
  • Se , faz igual: , então
Pronto, tá claro que qualquer um dos casos dá .

Passo 3

Provar que “se x^2 - 1 equiv 0 pmodp , então x^2 - 1 = (x-1)(x+1) ”.
  1. Partimos de (x-1)(x+1) equiv 0 pmodp .
  2. Subtraindo 1 dos dois lados:
  3. Fatoramos como diferença de quadrados: Logo
  4. Como é primo, não tem divisores de zero. Isso quer dizer que, se um produto é congruente a zero, então um dos fatores é congruente a zero:
    • Ou , isto é, .
    • Ou , isto é, .

Resposta

se, e somente se, .

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