Seja
um número primo. Prove que
se e somente se
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Seja
um primo. Prove que
se e somente se
Isso cai em teoria de aritmética modular, mais especificamente no fato de que
é um corpo (ou seja, não tem divisores de zero). Vamos usar:
- O que significa “
”. - Que num corpo, se um produto é zero então um dos fatores é zero.
Passo 2
Provar que “se
, então
”.
- Se
, então escrevemos e aí - Se
, faz igual: , então
Pronto, tá claro que qualquer um dos casos dá
.
Passo 3
Provar que “se
, então
”.
- Partimos de
. - Subtraindo 1 dos dois lados:
- Fatoramos
como diferença de quadrados: Logo - Como
é primo, não tem divisores de zero. Isso quer dizer que, se um produto é congruente a zero, então um dos fatores é congruente a zero: - Ou
, isto é, . - Ou
, isto é, .
- Ou