Resolva pelo método da fatoração LU o seguinte sistema e resolva-o:
[4x +2 y+z= -4,2 x+y+4 z=-2, x+4 y+2 z=6]

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva o sistema
4x + 2y + z = -4, 2x + y + 4z = -2, x + 4y + 2z = 6
usando fatoração LU. Isso faz parte de Álgebra Linear, e a ideia é escrever como . Aí primeiro a gente encontra (lower triangular) e (upper triangular), depois resolve e por fim . Vamos precisar ainda, se pintar pivô zero, trocar linhas (pivotamento) para continuar a fatoração.

Passo 2

Montando matriz e vetor:
A= 4 & 2 & 1 2 & 1 & 4 1 & 4 & 2 , b=-4-26
A gente começa aplicando eliminação gaussiana para gerar e . Se o pivô de na segunda coluna virar zero, a gente troca a 2ª e 3ª linhas (isso equivale a usar uma matriz de permutação ).

Passo 3

Eliminando abaixo de U'= 4 & 2 & 1 0 & 0 & tfrac72 0 & tfrac72 & tfrac74 :
  • P=permuta linha 2 e 3, PAto 4 & 2 & 1 1 & 4 & 2 2 & 1 & 4 , P b=-46-2 , subtrai da linha 1 da linha 2.
  • , subtrai da linha 1 da linha 3.
    Isso dá, antes de trocar nada,
Note que o pivô , não dá pra continuar, então fazemos permutação

Passo 4

Refazendo eliminação em L= 1 & 0 & 0 tfrac14 & 1 & 0 tfrac12 & 0 & 1 , U= 4 & 2 & 1 0 & tfrac72 & tfrac74 0 & 0 & tfrac72 :
  1. Pivô :
    .
    Subtraio da nova linha 2 e 3.
  2. Agora sobra zero abaixo de , e em seguida pivô , e sem mais zeros.
    O resultado final é

Passo 5

Agora resolvemos 1 & 0 & 0 tfrac14 & 1 & 0 tfrac12 & 0 & 1 y1y2y3 = -46-2 , ou seja
[

.
]
Da primeira linha, .
Da segunda,
Da terceira,
Logo .

Passo 6

Agora vem 4 & 2 & 1 0 & tfrac72 & tfrac74 0 & 0 & tfrac72 xyz = -470 :
[

.
]
Da terceira linha:
Da segunda:
Da primeira:

Resposta

(x,y,z)=(-2,;2,;0)

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