Seja n um número natural não divisível por 17. Prove que n^{8}+1 ou n^{8}-1 é divisível por 17 .

Passo 1

O enunciado diz: seja n\in\mathbb{N} tal que 17\nmid n. Precisamos mostrar que ou 17\mid n^{8}-1 ou 17\mid n^{8}+1. O conteúdo chave aqui é o Teorema de Fermat (ou a estrutura do grupo multiplicativo (\mathbb{Z}/17\mathbb{Z})^\times).

Passo 2

Como 17\nmid n, temos \gcd(n,17)=1. Pelo Teorema de Fermat,
n^{16}\equiv1\pmod{17}.
Isto implica
\bigl(n^{8}\bigr)^{2}\equiv1\pmod{17}.

Passo 3

No corpo \mathbb{Z}/17\mathbb{Z}, a equação
x^{2}\equiv1\pmod{17}
só admite as soluções x\equiv1 ou x\equiv-1. Logo,
n^{8}\equiv1\pmod{17} \quad\text{ou}\quad n^{8}\equiv-1\pmod{17}.

Passo 4

Se n^{8}\equiv1\pmod{17}, então 17\mid n^{8}-1.
Se n^{8}\equiv-1\pmod{17}, então 17\mid n^{8}+1.

Resposta

Fica provado que, para todo n natural não divisível por 17, ou 17\mid n^{8}-1 ou 17\mid n^{8}+1.

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