(a) Seja p um número primo e a \in\{1,2, \ldots, p-1\}. Prove que existe um único natural b \in\{1,2, \ldots, p-1\} tal que a b \equiv 1(\bmod p). Para quais valores de a temos b=a ?
(b) (Teorema de Wilson) Seja p um número primo. Prove que (p-1)!\equiv-1(\bmod p).

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na parte (a) precisamos mostrar que para todo primo p e todo a\in\{1,2,\dots,p-1\} existe um único b\in\{1,2,\dots,p-1\} tal que
a\,b\equiv1\pmod p,
e depois achar para quais a vale b=a.
Na parte (b) queremos provar o Teorema de Wilson, isto é,
(p-1)!\equiv-1\pmod p.
Os principais instrumentos são o Algoritmo de Euclides (para obter o inverso por Bezout), a unicidade na aritmética modular (cancelamento), e o emparelhamento de inversos em \{1,2,\dots,p-1\}.

Passo 2

(Prova da existência de b)
Como \gcd(a,p)=1 e p é primo, pelo Teorema de Bezout existem inteiros x,y tais que
a\,x + p\,y = 1.
Tomando essa congruência módulo p obtemos
a\,x \equiv 1\pmod p.
Basta então definir b\equiv x\pmod p e escolher o representante b\in\{1,2,\dots,p-1\}. Assim existe pelo menos um b com a\,b\equiv1\pmod p.

Passo 3

(Prova da unicidade de b)
Suponha que b e c sejam dois inversos de a em \{1,\dots,p-1\}, isto é,
a\,b\equiv1\pmod p \quad\text{e}\quad a\,c\equiv1\pmod p.
Então
a\,b \equiv a\,c \pmod p \quad\Longrightarrow\quad a\,(b-c)\equiv0\pmod p.
Como p não divide a, segue que p divide b-c. Mas -p< b-c<p, logo b-c=0 e b=c. Assim o inverso é único.

Passo 4

(Quais a satisfazem b=a)
Pedir b=a é pedir
a^2\equiv1\pmod p \quad\Longleftrightarrow\quad a^2-1\equiv0\pmod p \quad\Longleftrightarrow\quad (a-1)(a+1)\equiv0\pmod p.
Como p é primo, p divide a-1 ou a+1. Logo
a\equiv1\pmod p \quad\text{ou}\quad a\equiv-1\pmod p,
isto é, no conjunto \{1,2,\dots,p-1\} temos a=1 ou a=p-1.

Passo 5

(Prova do Teorema de Wilson)
Defina
P = (p-1)! = 1\cdot2\cdot3\cdots (p-1).
Pela parte (a), cada a\in\{1,\dots,p-1\} tem inverso único b e podemos agrupar o produto em pares (a,b) com a\,b\equiv1\pmod p. Cada par contribui com 1 ao produto. Os únicos que não se emparelham são aqueles com b=a, ou seja a=1 e a=p-1. Portanto, em \bmod p,
P \equiv 1\;\times\;(p-1) \;\equiv\;-1\pmod p.

Resposta

(a) Para todo a\in\{1,\dots,p-1\} existe um único b\in\{1,\dots,p-1\} tal que a\,b\equiv1\pmod p. Além disso b=a se e só se a=1 ou a=p-1.
(b) (p-1)!\equiv-1\pmod p.

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