(a) Seja
um número primo e
. Prove que existe um único natural
tal que
. Para quais valores de
temos
?
(b) (Teorema de Wilson) Seja
um número primo. Prove que
.
(b) (Teorema de Wilson) Seja
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na parte (a) precisamos mostrar que para todo primo
e todo
existe um único
tal que
e depois achar para quais
vale
.
Na parte (b) queremos provar o Teorema de Wilson, isto é,
Na parte (b) queremos provar o Teorema de Wilson, isto é,
Os principais instrumentos são o Algoritmo de Euclides (para obter o inverso por Bezout), a unicidade na aritmética modular (cancelamento), e o emparelhamento de inversos em
.
Passo 2
(Prova da existência de
)
Como e
é primo, pelo Teorema de Bezout existem inteiros
tais que
Como
Tomando essa congruência módulo
obtemos
Basta então definir
e escolher o representante
. Assim existe pelo menos um
com
.
Passo 3
(Prova da unicidade de
)
Suponha que e
sejam dois inversos de
em
, isto é,
Suponha que
Então
Como
não divide
, segue que
divide
. Mas
, logo
e
. Assim o inverso é único.
Passo 4
(Quais
satisfazem
)
Pedir é pedir
Pedir
Como
é primo,
divide
ou
. Logo
isto é, no conjunto
temos
ou
.
Passo 5
(Prova do Teorema de Wilson)
Defina
Defina
Pela parte (a), cada
tem inverso único
e podemos agrupar o produto em pares
com
. Cada par contribui com
ao produto. Os únicos que não se emparelham são aqueles com
, ou seja
e
. Portanto, em
,
Resposta
(a) Para todo
existe um único
tal que
. Além disso
se e só se
ou
.
(b) .
(b)