Prove que forall p natural, p >= 3, existem p naturais n1, n2, ldots, np tais que
1n1+1n2+ldots+1np=1

Passo 1

O enunciado diz: “Prove que para todo natural 1n1+1n2+cdots+1np=1 existem naturais 1n = 1n+1 + 1n(n+1) tais que
Estamos em teoria de números (frações egípcias + indução). Para resolver, vamos usar:
  1. Caso base (mostrar para ).
  2. Passo indutivo (se vale para , construir para ).
  3. Uma identidade algébrica útil:

Passo 2

(Caso base 12 + 13 + 16 = 3+2+16 = 66 = 1 )
Mostramos que existem três naturais cujas reciprocais somam 1. Um clássico é
Ou seja, para escolhemos e já tá ok.

Passo 3

(Passo de indução)
Suponha que, para algum sumi=1^p 1ni = 1 , você já tenha 1np = 1np+1 + 1np(np+1) com
A ideia é “quebrar” um desses termos em dois, usando
Então, em vez de usar só , trocamos por e . Mas atenção: isso aumenta o total de termos em 1, de para .

Passo 4

(Verificação da soma)
Após a troca, nossos n1,,n2,,dots,np-1,;np+1,;np(np+1) números são
sumi=1^p-11ni ;+;l(1np+1+1np(np+1)r) =sumi=1^p-11ni+1np =1
A soma das reciprocais fica
Pronto, geramos exatamente frações somando 1.

Resposta

Por indução, começando em 1n1+cdots+1np=1 com e usando a “quebra”
, mostramos que se vale para vale para . Logo, para todo natural existem naturais tais que

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