Prove que
natural,
, existem
naturais
tais que
Passo 1
O enunciado diz: “Prove que para todo natural
existem naturais
tais que
Estamos em teoria de números (frações egípcias + indução). Para resolver, vamos usar:
- Caso base (mostrar para
). - Passo indutivo (se vale para
, construir para ). - Uma identidade algébrica útil:
Passo 2
(Caso base
)
Mostramos que existem três naturais cujas reciprocais somam 1. Um clássico é
Mostramos que existem três naturais cujas reciprocais somam 1. Um clássico é
Ou seja, para
escolhemos
e já tá ok.
Passo 3
(Passo de indução)
Suponha que, para algum , você já tenha
com
Suponha que, para algum
A ideia é “quebrar” um desses termos em dois, usando
Então, em vez de usar só
, trocamos por
e
. Mas atenção: isso aumenta o total de termos em 1, de
para
.
Passo 4
(Verificação da soma)
Após a troca, nossos números são
Após a troca, nossos
A soma das reciprocais fica
Pronto, geramos exatamente
frações somando 1.
Resposta
Por indução, começando em
com
e usando a “quebra”
, mostramos que se vale para
vale para
. Logo, para todo natural
existem naturais
tais que