Use o princípio da indução para provar as seguintes afirmações:
(n+1)(n+2) ldots(n+n)=2^n cdot 1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1).

Passo 1

O enunciado diz: provar, por indução em (n+1)(n+2)cdots(n+n);=;2^n,l(1cdot3cdot5cdots(2n-1)r) , que
Conteúdo: Princípio da indução finita. Vamos usar:
  1. Base: verificar para .
  2. Hipótese indutiva: assumir a fórmula para .
  3. Passo indutivo: mostrar que daí vem a fórmula para .

Passo 2

Base .
Lado esquerdo: .
Lado direito: .
Logo vale para .

Passo 3

Hipótese indutiva: suponha que para um certo P(n)colonprodk=1^n (n+k) ;=; 2^n;prodk=1^n (2k-1) já seja verdade

Passo 4

Queremos provar prodk=1^n+1l((n+1)+kr) ;=; 2^,n+1,prodk=1^n+1(2k-1) , ou seja
prodk=1^n+1(n+1+k) = l[prodk=1^n(n+1+k)r]timesl(n+1+(n+1)r) ;=; l[prodk=1^n(n+k+1)r]times(2n+2)
Reescrevendo a esquerda:
[
\prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k)

\Bigl[\prod_{k=1}^{n}(n+1+k)\Bigr]\times\bigl(n+1+(n+1)\bigr)
;=;
\Bigl[\prod_{k=1}^{n}(n+k+1)\Bigr]\times(2n+2).
]
Agora note que
prodk=1^n(n+k+1) =prodi=1^,n+1(n+i),n+1, =l[prodi=1^n(n+i)r],(2n+1)n+1 ;=; P(n),(2n+1)n+1
Logo
[
\prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k)

\frac{P(n),(2n+1)}{n+1},\times(2n+2).
]
Substituindo a hipótese prodk=1^n+1(n+1+k) = P(n),(2n+1)n+1,times(2n+2) , dá
[
\prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k)

2n\Bigl[\prod_{k=1}n(2k-1)\Bigr];\frac{(2n+1)(2n+2)}{,n+1,}.
]
Mas prodk=1^n+1(n+1+k) = 2^nl[prodk=1^n(2k-1)r];(2n+1)(2n+2),n+1, , então
[
\prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k)

2n\cdot2;\prod_{k=1}n(2k-1);(2n+1)

2{,n+1},\prod_{k=1}{n+1}(2k-1).
]
Isso fecha o passo indutivo.

Resposta

Pela indução, a identidade
[
(n+1)(n+2)\cdots(n+n)

2^{n},1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)
]
vale para todo (n+1)(n+2)cdots(n+n) = 2^n,1cdot3cdot5cdots(2n-1) .

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