Use o princípio da indução para provar as seguintes afirmações:
.
Passo 1
O enunciado diz: provar, por indução em
, que
Conteúdo: Princípio da indução finita. Vamos usar:
- Base: verificar para
. - Hipótese indutiva: assumir a fórmula para
. - Passo indutivo: mostrar que daí vem a fórmula para
.
Passo 2
Base
.
Lado esquerdo: .
Lado direito: .
Logo vale para .
Lado esquerdo:
Lado direito:
Logo vale para
Passo 3
Hipótese indutiva: suponha que para um certo
já seja verdade
Passo 4
Queremos provar
, ou seja
Reescrevendo a esquerda:
[
\prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k)
\Bigl[\prod_{k=1}^{n}(n+1+k)\Bigr]\times\bigl(n+1+(n+1)\bigr)
;=;
\Bigl[\prod_{k=1}^{n}(n+k+1)\Bigr]\times(2n+2).
]
Agora note que
Logo
[
\prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k)
\frac{P(n),(2n+1)}{n+1},\times(2n+2).
]
Substituindo a hipótese
, dá
[
\prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k)
2n\Bigl[\prod_{k=1}n(2k-1)\Bigr];\frac{(2n+1)(2n+2)}{,n+1,}.
]
Mas
, então
[
\prod_{k=1}^{n+1}(n+1+k)
2n\cdot2;\prod_{k=1}n(2k-1);(2n+1)
2{,n+1},\prod_{k=1}{n+1}(2k-1).
]
]
Isso fecha o passo indutivo.
Resposta
Pela indução, a identidade
[
(n+1)(n+2)\cdots(n+n)
2^{n},1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)
]
]
vale para todo
.