\mathbf{1}^{\boldsymbol{\circ}} ) Considere o sistema de representação dado por \mathbf{F}(\mathbf{2}, \mathbf{1 2}, \mathbf{- 3 1}, \mathbf{3 1}). Determine:
a) A quantidade de números diferentes que podem ser representados.
b) O primeiro (ou menor) número positivo nesta máquina:

Passo 1

O enunciado define um sistema de ponto flutuante normalizado
F(\beta,t,L,U) = F(2,12,-31,31)
onde cada número não nulo tem a forma
\pm(0.d_{1}d_{2}\dots d_{t})_{2}\times2^{e},
com d_{1}=1, d_{i}\in\{0,1\} para i=2,\dots,t e e\in\{L,\dots,U\}. Vamos precisar contar todas as mantissas possíveis, todos os expoentes e incluir o zero.

Passo 2

Número de padrões de mantissa: como d_{1} é sempre 1 e os outros t-1 dígitos podem ser 0 ou 1, temos
\text{mantissas} = 2^{\,t-1}.
Número de expoentes possíveis:
\text{expoentes} = U - L + 1.

Passo 3

Total de números não nulos de um só sinal:
2^{\,t-1}\times(U - L + 1).
Como há dois sinais \pm, multiplicamos por 2, e depois somamos 1 para incluir o zero:
N = 1 + 2 \times 2^{\,t-1}\times(U - L + 1).
Substituindo t=12, L=-31, U=31:
2^{\,t-1} = 2^{11} = 2048,\quad U - L + 1 = 31 - (-31) + 1 = 63,
N = 1 + 2 \times 2048 \times 63 = 1 + 4096 \times 63 = 1 + 258048 = 258049.

Passo 4

Menor número positivo: ocorre com a mantissa mínima normalizada (1.0)_2 e expoente e=L=-31, logo
\min_{+} = (1.0)_{2}\times2^{-31} = 2^{-31}.

Resposta

a) 258049
b) 2^{-31}

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