Seja p um polinômio de grau n que interpola os pontos abaixo. Qual é o menor valor possível para n:
|l|l|l|l|l|l| hline$x$ & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 hline$f(x)$ & -5 & 1 & 1 & 1 & 7 hline -2 -1 0 1 2
-5 1 1 1 7
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) Não sei

Passo 1

Beleza, a questão é assim: a gente tem cinco pares com e valores . Queremos achar o menor grau de um polinômio que passe por todos esses pontos. Matéria: interpolação de polinômios (diferenças finitas). Vamos usar a ideia de tabela de diferenças pra descobrir qual é o grau mínimo.

Passo 2

Antes de meter a mão na massa, vou explicar rapidinho o que são diferenças finitas. Se você tem uma sequência de valores de uma função em pontos igualmente espaçados, define-se:
  • 1ª diferença:
  • 2ª diferença:
  • e assim por diante.
Propriedade importante: se a -ésima diferença for constante (e as anteriores não forem), então o polinômio que gera essa tabela tem grau exatamente . Ex.: para um polinômio quadrático (grau 2), a segunda diferença é constante.

Passo 3

Vamos montar a tabela de diferenças para os valores (no eixo o espaçamento é de 1):
x : -2 -1 0 1 2
f : -5 1 1 1 7
1ª diferenças :



Logo: 6, 0, 0, 6

Passo 4

2ª diferenças :


Logo: -6, 0, 6

Passo 5

3ª diferenças :

Logo: 6, 6 (constante!)

Passo 6

Como a terceira diferença é constante (e a segunda não era), nosso polinômio tem grau . Ou seja, o menor possível é 3.

Resposta

(alternativa b) )

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