Seja p um polinômio de grau n que interpola os pontos abaixo. Qual é o menor valor possível para n:
-2
-1
0
1
2
-5
1
1
1
7
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) Não sei
|
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|
-5 | 1 | 1 | 1 | 7 |
b) 3
c) 4
d) 5
e) Não sei
Passo 1
Beleza, a questão é assim: a gente tem cinco pares
com
e valores
. Queremos achar o menor grau
de um polinômio
que passe por todos esses pontos. Matéria: interpolação de polinômios (diferenças finitas). Vamos usar a ideia de tabela de diferenças pra descobrir qual é o grau mínimo.
Passo 2
Antes de meter a mão na massa, vou explicar rapidinho o que são diferenças finitas. Se você tem uma sequência de valores de uma função em pontos igualmente espaçados, define-se:
- 1ª diferença:
- 2ª diferença:
- e assim por diante.
Propriedade importante: se a
-ésima diferença for constante (e as anteriores não forem), então o polinômio que gera essa tabela tem grau exatamente
. Ex.: para um polinômio quadrático (grau 2), a segunda diferença é constante.
Passo 3
Vamos montar a tabela de diferenças para os valores (no eixo
o espaçamento é de 1):
x : -2 -1 0 1 2
f : -5 1 1 1 7
f : -5 1 1 1 7
1ª diferenças
:
Logo: 6, 0, 0, 6
Passo 4
2ª diferenças
:
Logo: -6, 0, 6
Passo 5
3ª diferenças
:
Logo: 6, 6 (constante!)
Passo 6
Como a terceira diferença
é constante (e a segunda não era), nosso polinômio tem grau
. Ou seja, o menor
possível é 3.