Para n=1, prove a seguinte identidade:
binomn1+2binomn2+3binomn3+cdots+nbinomnn=n 2^n
[Sugestão: Depois de expandir n(1+b)^n-1 pelo teorema binomial, considere b=1, note também que
nbinomn-1k=(k+1)binomnk+1
]

Passo 1

Beleza, o exercício pede para mostrar que
binomn1 + 2,binomn2 + 3,binomn3 + cdots + n,binomnn = n,2^,n-1
Isso é um resultado de teoria de binômio de Newton e de umas manobras com somatórios. A matéria que usamos é o Teorema Binomial, mais o fato de que
nbinomn-1k ;=; (k+1),binomnk+1
Vamos precisar expandir pelo binômio e depois escolher .

Passo 2

Começamos escrevendo o Teorema Binomial para n,(1+b)^n-1 = n sumk=0^n-1 binomn-1k,b^k = sumk=0^n-1 l[n,binomn-1kr],b^k e multiplicamos por :
Aqui usamos que .

Passo 3

Agora aplicamos a identidade sumk=0^n-1 l(k+1r)binomnk+1,b^k . Isso vira
n,(1+b)^n-1 = sumj=1^n j,binomnj,b^,j-1
Para ficar na forma que a gente quer, fazemos a troca de índice . Quando vai de até , vai de até , e . Então

Passo 4

Multiplicamos tudo por n,b,(1+b)^n-1 = sumj=1^n j,binomnj,b^,j para ter sumj=1^n j,binomnj,b^,j = n,b,(1+b)^n-1 no somatório:
Pronto, chegamos a

Passo 5

Basta agora escolher sumj=1^n j,binomnj = ncdot1cdot 2^,n-1 = n,2^,n-1 . Como ,

Resposta

boxedbinomn1 + 2,binomn2 + cdots + n,binomnn ;=; n,2^,n-1

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