Para
, prove a seguinte identidade:
[Sugestão: Depois de expandir
pelo teorema binomial, considere
, note também que
]
[Sugestão: Depois de expandir
Passo 1
Beleza, o exercício pede para mostrar que
Isso é um resultado de teoria de binômio de Newton e de umas manobras com somatórios. A matéria que usamos é o Teorema Binomial, mais o fato de que
Vamos precisar expandir
pelo binômio e depois escolher
.
Passo 2
Começamos escrevendo o Teorema Binomial para
e multiplicamos por
:
Aqui usamos que
.
Passo 3
Agora aplicamos a identidade
. Isso vira
Para ficar na forma que a gente quer, fazemos a troca de índice
. Quando
vai de
até
,
vai de
até
, e
. Então
Passo 4
Multiplicamos tudo por
para ter
no somatório:
Pronto, chegamos a
Passo 5
Basta agora escolher
. Como
,