Calcule:
.
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
Aqui estão as informações explícitas que temos:
- A parte real é
. - A parte imaginária é
.
O enunciado pede simplesmente “Calcule” esse número complexo; para aprender bem e ficar pronto para a prova, vou calcular e explicar passo a passo as principais representações e propriedades úteis de
: o módulo, o argumento principal, a forma trigonométrica (polar), a forma exponencial, o conjugado e o inverso (recíproco). Cada uma dessas coisas é algo que costuma ser pedido em exercícios sobre números complexos.
Passo 2
Cálculo do módulo
.
Lembrete da fórmula (aula rápida): para
o módulo é
onde
e
. Aqui
e
.
Aplicando:
Explicação intuitiva: o módulo é a distância do ponto
até a origem no plano complexo (como distância euclidiana).
Passo 3
Cálculo do conjugado
.
Lembrete da fórmula: para
o conjugado é
. Isso corresponde a refletir o ponto em relação ao eixo real.
Aplicando:
Passo 4
Cálculo do argumento
(valor principal).
Lembrete da fórmula e atenção com quadrantes: para
uma tentativa é calcular
, porém é preciso ajustar conforme o sinal de
e
para obter o ângulo no quadrante correto. O ponto
tem
e
, ou seja, está no segundo quadrante (ângulo entre
e
).
Calcule primeiro
:
Como
precisamos somar
para colocar o ângulo no quadrante II:
Valor aproximado (umas contas rápidas):
(rad), então
Em graus isso é aproximadamente
.
Passo 5
Obter
e
para a forma trigonométrica.
Seja
. Nas fórmulas polares vale
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Escrever a forma trigonométrica (polar) e a forma exponencial.
Forma trigonométrica (lembrando que
):
Forma exponencial (fórmula
):
Se quiser valores numéricos aproximados:
então numericamente
ou
.
Passo 7
Cálculo do inverso
.
Fórmula prática:
. Já temos
e
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