Calcule: z=-1+3 i.

Passo 1

O enunciado dá o número complexo
z = -1 + 3\,i.
Aqui estão as informações explícitas que temos:
  • A parte real é \operatorname{Re}(z) = -1.
  • A parte imaginária é \operatorname{Im}(z) = 3.
O enunciado pede simplesmente “Calcule” esse número complexo; para aprender bem e ficar pronto para a prova, vou calcular e explicar passo a passo as principais representações e propriedades úteis de z: o módulo, o argumento principal, a forma trigonométrica (polar), a forma exponencial, o conjugado e o inverso (recíproco). Cada uma dessas coisas é algo que costuma ser pedido em exercícios sobre números complexos.

Passo 2

Cálculo do módulo |z|.
Lembrete da fórmula (aula rápida): para z = a + b\,i o módulo é
|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
onde a=\operatorname{Re}(z) e b=\operatorname{Im}(z). Aqui a=-1 e b=3.
Aplicando:
|z|=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.
Explicação intuitiva: o módulo é a distância do ponto (-1,3) até a origem no plano complexo (como distância euclidiana).

Passo 3

Cálculo do conjugado \overline{z}.
Lembrete da fórmula: para z=a+b\,i o conjugado é \overline{z}=a-b\,i. Isso corresponde a refletir o ponto em relação ao eixo real.
Aplicando:
\overline{z} = -1 - 3\,i.

Passo 4

Cálculo do argumento \arg(z) (valor principal).
Lembrete da fórmula e atenção com quadrantes: para z=a+b\,i uma tentativa é calcular \arctan\!\big(\tfrac{b}{a}\big), porém é preciso ajustar conforme o sinal de a e b para obter o ângulo no quadrante correto. O ponto (-1,3) tem a<0 e b>0, ou seja, está no segundo quadrante (ângulo entre \tfrac{\pi}{2} e \pi).
Calcule primeiro \arctan\!\big(\tfrac{b}{a}\big):
\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)=\arctan\!\left(\frac{3}{-1}\right)=\arctan(-3)=-\arctan(3).
Como a<0 precisamos somar \pi para colocar o ângulo no quadrante II:
\arg(z)=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right)+\pi=-\arctan(3)+\pi=\pi-\arctan(3).
Valor aproximado (umas contas rápidas): \arctan(3)\approx 1,2490 (rad), então
\arg(z)\approx 3,1416-1,2490\approx 1,8925\\ \text{rad}.
Em graus isso é aproximadamente 1,8925\cdot\frac{180}{\pi}\approx 108,4349^\circ.

Passo 5

Obter \cos\theta e \sin\theta para a forma trigonométrica.
Seja \theta=\arg(z). Nas fórmulas polares vale
\cos\theta=\frac{a}{|z|},\qquad \sin\theta=\frac{b}{|z|}.
Substituindo a=-1, b=3 e |z|=\sqrt{10}:
\cos\theta=-\frac{1}{\sqrt{10}},\qquad \sin\theta=\frac{3}{\sqrt{10}}.

Passo 6

Escrever a forma trigonométrica (polar) e a forma exponencial.
Forma trigonométrica (lembrando que \theta=\pi-\arctan(3)):
z=|z|\big(\cos\theta + i\sin\theta\big)=\sqrt{10}\Big(\cos\big(\pi-\arctan(3)\big)+i\sin\big(\pi-\arctan(3)\big)\Big).
Forma exponencial (fórmula z=|z|e^{i\theta}):
z=\sqrt{10}\,e^{\,i(\pi-\arctan(3))}.
Se quiser valores numéricos aproximados:
|z|\approx 3,1623,\qquad \arg(z)\approx 1,8925\\ \text{rad}\approx 108,4349^\circ,
então numericamente z\approx 3,1623\,(\cos 1,8925 + i\sin 1,8925) ou z\approx 3,1623\,e^{i\,1,8925}.

Passo 7

Cálculo do inverso 1/z.
Fórmula prática: 1/z=\dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}. Já temos \overline{z}=-1-3i e |z|^{2}=10. Logo
\frac{1}{z}=\frac{-1-3\,i}{10}=-\frac{1}{10}-\frac{3}{10}\,i.

Resposta

|z|=\sqrt{10}
\arg(z)=\pi-\arctan(3)\approx 1,8925\\ \text{rad}\approx 108,4349^\circ
\overline{z}=-1-3\,i
z=\sqrt{10}\big(\cos(\pi-\arctan(3))+i\sin(\pi-\arctan(3))\big)
z=\sqrt{10}\,e^{\,i(\pi-\arctan(3))}
\dfrac{1}{z}=-\dfrac{1}{10}-\dfrac{3}{10}\,i

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