Questão 4. Considere o sistema abaixo e encontre o vetor solução aproximado através do método de Gauss-Seidel. (\epsilon=0,2)
\left\{\begin{array}{r} 3 x_{1}+x_{2}-x_{3}=3 \\\ x_{1}+4 x_{2}+x_{3}=6 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+6 x_{3}=7 \end{array}\right.
Use como chute inicial x^{(0)}=(0,5 ; 0,5 ; 0).

Passo 1

O que o problema pede e o que temos:
  • Pede: aproximar a solução do sistema linear por Gauss–Seidel usando tolerância \epsilon=0,2\). - Sistema dado: \[\begin{cases} 3x_1 + x_2 - x_3 = 3,\\[4pt] x_1 + 4x_2 + x_3 = 6,\\[4pt] 2x_1 - x_2 + 6x_3 = 7. \end{cases}
  • Chute inicial fornecido: \,x^{(0)}=(0,5\\ ;\\\ 0,5\\ ;\\\ 0)\]. - Vou usar o critério de parada padrão para métodos iterativos: parar quando \[\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty < \epsilon,\] onde \(\|v\|_\infty=\max_i |v_i|. Aqui \epsilon=0,2 (notação com vírgula conforme pedida).]

Passo 2

Explicando o método de Gauss–Seidel (passo a passo, sem pular etapas):
  • Ideia: resolver cada equação para a variável principal e, na mesma iteração, usar as componentes já atualizadas (ou seja, atualizações imediatas dentro da iteração).
  • Resolvo cada equação para x_i:
\begin{aligned} x_1 &= \frac{1}{3}\bigl(3 - x_2 + x_3\bigr),\\[4pt] x_2 &= \frac{1}{4}\bigl(6 - x_1 - x_3\bigr),\\[4pt] x_3 &= \frac{1}{6}\bigl(7 - 2x_1 + x_2\bigr). \end{aligned}
  • Regra de atualização (Gauss–Seidel): para a iteração k\mapsto k+1,
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{1}{3}\bigl(3 - x_2^{(k)} + x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \frac{1}{4}\bigl(6 - x_1^{(k+1)} - x_3^{(k)}\bigr),\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= \frac{1}{6}\bigl(7 - 2x_1^{(k+1)} + x_2^{(k+1)}\bigr). \end{aligned}
  • Explicando as notações: x_i^{(k)} é o i-ésimo componente na iteração k. No Gauss–Seidel, ao calcular x_2^{(k+1)} usa-se o novo x_1^{(k+1)} (já calculado nesta mesma iteração) e o antigo x_3^{(k)}; ao calcular x_3^{(k+1)} usa-se x_1^{(k+1)} e x_2^{(k+1)}.]

Passo 3

Primeira iteração (a partir de x^{(0)}=(0,5;0,5;0)) — calcular tudo mostrando contas que dá para fazer à mão:
  • Cálculo de x_1^{(1)}:
x_1^{(1)}=\frac{1}{3}\bigl(3 - x_2^{(0)} + x_3^{(0)}\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(3 - \tfrac{1}{2} + 0\bigr) =\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{2}=\frac{5}{6}=0,8333\ldots
  • Cálculo de x_2^{(1)}:
x_2^{(1)}=\frac{1}{4}\bigl(6 - x_1^{(1)} - x_3^{(0)}\bigr) =\frac{1}{4}\Bigl(6 - \frac{5}{6}\Bigr) =\frac{1}{4}\cdot\frac{31}{6}=\frac{31}{24}\approx1,2916667.
  • Cálculo de x_3^{(1)}:
x_3^{(1)}=\frac{1}{6}\bigl(7 - 2x_1^{(1)} + x_2^{(1)}\bigr) =\frac{1}{6}\Bigl(7 - 2\cdot\frac{5}{6} + \frac{31}{24}\Bigr) =\frac{1}{6}\cdot\frac{159}{24}=\frac{53}{48}\approx1,1041667.
  • Resultado da iteração 1:
x^{(1)}=\bigl(0,8333\ldots;\\\ 1,2916667;\\\ 1,1041667\bigr).

Passo 4

Verificação do critério após iteração 1:
  • Diferença componente a componente |x^{(1)}-x^{(0)}|:
(|0,8333-0,5|,\\ |1,2916667-0,5|,\\ |1,1041667-0|) =(0,3333\ldots,\\\ 0,7916667,\\\ 1,1041667).
  • Norma infinito \|x^{(1)}-x^{(0)}\|_\infty=1,1041667 > 0,2. Ainda não convergiu — continuar.

Passo 5

Segunda iteração:
  • x_1^{(2)}:
x_1^{(2)}=\frac{1}{3}\bigl(3 - x_2^{(1)} + x_3^{(1)}\bigr) =\frac{1}{3}\Bigl(3 - \frac{31}{24} + \frac{53}{48}\Bigr) =\frac{1}{3}\cdot\frac{135}{48}=\frac{15}{16}=0,9375.
  • x_2^{(2)}:
x_2^{(2)}=\frac{1}{4}\bigl(6 - x_1^{(2)} - x_3^{(1)}\bigr) =\frac{1}{4}\Bigl(6 - \frac{15}{16} - \frac{53}{48}\Bigr) =\frac{1}{4}\cdot\frac{95}{24}=\frac{95}{96}\approx0,9895833.
  • x_3^{(2)}:
x_3^{(2)}=\frac{1}{6}\bigl(7 - 2x_1^{(2)} + x_2^{(2)}\bigr) =\frac{1}{6}\Bigl(7 - 2\cdot\frac{15}{16} + \frac{95}{96}\Bigr) =\frac{587}{576}\approx1,0190972.
  • Resultado da iteração 2:
x^{(2)}=\bigl(0,9375;\\\ 0,9895833;\\\ 1,0190972\bigr).

Passo 6

Verificação do critério após iteração 2:
  • Diferenças |x^{(2)}-x^{(1)}|:
(0,1041667,\\\ 0,3020834,\\\ 0,0850695).
  • Norma infinito \|x^{(2)}-x^{(1)}\|_\infty=0,3020834 > 0,2. Ainda não converge com \epsilon=0,2. Continuar.

Passo 7

Terceira iteração:
  • x_1^{(3)}:
x_1^{(3)}=\frac{1}{3}\bigl(3 - x_2^{(2)} + x_3^{(2)}\bigr) =\frac{1}{3}\Bigl(3 - \frac{95}{96} + \frac{587}{576}\Bigr) =\frac{1745}{1728}\approx1,00983796.
  • x_2^{(3)}:
x_2^{(3)}=\frac{1}{4}\bigl(6 - x_1^{(3)} - x_3^{(2)}\bigr) \approx\frac{1}{4}\bigl(6 - 1,00983796 - 1,01909722\bigr)\approx0,99276620.
(usa-se os valores atualizados; mantive frações/decimais manejáveis)
  • x_3^{(3)}:
x_3^{(3)}=\frac{1}{6}\bigl(7 - 2x_1^{(3)} + x_2^{(3)}\bigr) \approx\frac{1}{6}\bigl(7 - 2\cdot1,00983796 + 0,99276620\bigr)\approx0,99551505.
  • Resultado da iteração 3:
x^{(3)}\approx\bigl(1,00983796;\\\ 0,99276620;\\\ 0,99551505\bigr).

Passo 8

Verificação do critério após iteração 3:
  • Diferenças |x^{(3)}-x^{(2)}|:
(0,07233796,\\\ 0,00318287,\\\ 0,02358217).
  • Norma infinito \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty=0,07233796 < 0,2. Portanto, com \epsilon=0,2 já atingimos a tolerância e podemos parar.
  • Observação: obtivemos convergência em 3 iterações com esse critério (tolerância relativamente grande). Se a prova pedisse precisão maior, pediria mais iterações com \epsilon menor.

Resposta

x^{(3)}\approx(1,0098\\ ;\\\ 0,9928\\ ;\\\ 0,9955)

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