Pede: aproximar a solução do sistema linear por Gauss–Seidel usando tolerância \epsilon=0,2\).
- Sistema dado:
\[\begin{cases} 3x_1 + x_2 - x_3 = 3,\\[4pt] x_1 + 4x_2 + x_3 = 6,\\[4pt] 2x_1 - x_2 + 6x_3 = 7. \end{cases}
Chute inicial fornecido: \,x^{(0)}=(0,5\\ ;\\\ 0,5\\ ;\\\ 0)\].
- Vou usar o critério de parada padrão para métodos iterativos: parar quando
\[\|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|_\infty < \epsilon,\]
onde \(\|v\|_\infty=\max_i |v_i|. Aqui \epsilon=0,2 (notação com vírgula conforme pedida).]
Passo 2
Explicando o método de Gauss–Seidel (passo a passo, sem pular etapas):
Ideia: resolver cada equação para a variável principal e, na mesma iteração, usar as componentes já atualizadas (ou seja, atualizações imediatas dentro da iteração).
Explicando as notações: x_i^{(k)} é o i-ésimo componente na iteração k. No Gauss–Seidel, ao calcular x_2^{(k+1)} usa-se o novo x_1^{(k+1)} (já calculado nesta mesma iteração) e o antigo x_3^{(k)}; ao calcular x_3^{(k+1)} usa-se x_1^{(k+1)} e x_2^{(k+1)}.]
Passo 3
Primeira iteração (a partir de x^{(0)}=(0,5;0,5;0)) — calcular tudo mostrando contas que dá para fazer à mão:
Norma infinito \|x^{(3)}-x^{(2)}\|_\infty=0,07233796 < 0,2. Portanto, com \epsilon=0,2 já atingimos a tolerância e podemos parar.
Observação: obtivemos convergência em 3 iterações com esse critério (tolerância relativamente grande). Se a prova pedisse precisão maior, pediria mais iterações com \epsilon menor.