Sejam a e b números inteiros. Mostre que se a<b, então a^{3}<b^{3}.

Passo 1

O enunciado dá que a e b são números inteiros e que a<b. A tarefa é mostrar que a desigualdade dos cubos também é estrita, isto é, provar que a^{3}<b^{3}.

Passo 2

Uma identidade algébrica útil é a fatoração da diferença de cubos. Vou escrever e provar essa identidade:
(b-a)(b^{2}+ab+a^{2}) = b\cdot b^{2}+ab\cdot b+a^{2}\cdot b - a\cdot b^{2}-a^{2}b-a^{3}.
Ao agrupar termos iguais (expandindo diretamente) obtemos
(b-a)(b^{2}+ab+a^{2}) = b^{3} - a^{3}.
Portanto vale a identidade
b^{3}-a^{3}=(b-a)(b^{2}+ab+a^{2}).

Passo 3

Analisar o sinal do primeiro fator. Como foi dado que a<b, então
b-a>0.
Além disso, sendo a e b inteiros, b-a é um inteiro positivo. Logo o primeiro fator é estritamente positivo.

Passo 4

Analisar o sinal do segundo fator. Mostro que b^{2}+ab+a^{2} é sempre positivo (para quaisquer a,b reais), e portanto também para inteiros. Faço uma reescrita completando quadrado:
b^{2}+ab+a^{2}=\left(b+\frac{a}{2}\right)^{2}+\frac{3a^{2}}{4}.
O termo \left(b+\dfrac{a}{2}\right)^{2} é um quadrado e portanto \ge 0. O termo \dfrac{3a^{2}}{4} também é \ge 0. A soma de dois termos não negativos é não negativa. Para que a soma fosse 0 ambos teriam de ser 0 simultaneamente, o que exigiria a=0 e b+\dfrac{a}{2}=b=0, ou seja a=b=0. Mas isso não pode ocorrer porque temos a<b. Portanto necessariamente
b^{2}+ab+a^{2}>0.

Passo 5

Como ambos os fatores em b^{3}-a^{3}=(b-a)(b^{2}+ab+a^{2}) são estritamente positivos (do Passo 3 e do Passo 4), a sua multiplicação é estritamente positiva:
b^{3}-a^{3}>0.

Passo 6

A partir de b^{3}-a^{3}>0 segue imediatamente a desigualdade desejada:
a^{3}<b^{3}.

Resposta

a^{3}<b^{3}

Exercícios relacionados