Sejam
e
números inteiros. Mostre que se
, então
.
Passo 1
O enunciado dá que
e
são números inteiros e que
. A tarefa é mostrar que a desigualdade dos cubos também é estrita, isto é, provar que
.
Passo 2
Uma identidade algébrica útil é a fatoração da diferença de cubos. Vou escrever e provar essa identidade:
Ao agrupar termos iguais (expandindo diretamente) obtemos
Portanto vale a identidade
Passo 3
Analisar o sinal do primeiro fator. Como foi dado que
, então
Além disso, sendo
e
inteiros,
é um inteiro positivo. Logo o primeiro fator é estritamente positivo.
Passo 4
Analisar o sinal do segundo fator. Mostro que
é sempre positivo (para quaisquer
reais), e portanto também para inteiros. Faço uma reescrita completando quadrado:
O termo
é um quadrado e portanto
. O termo
também é
. A soma de dois termos não negativos é não negativa. Para que a soma fosse
ambos teriam de ser
simultaneamente, o que exigiria
e
, ou seja
. Mas isso não pode ocorrer porque temos
. Portanto necessariamente
Passo 5
Como ambos os fatores em
são estritamente positivos (do Passo 3 e do Passo 4), a sua multiplicação é estritamente positiva:
Passo 6
A partir de
segue imediatamente a desigualdade desejada: