Usando os axiomas e as propriedades apresentadas sobre mathbb{Z}, explique por que:
A equação x^{3}+x^{2}-9 x-9=0 tem exatamente três soluções.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se: explicar por que a equação definida em \mathbb{Z}
x^{3}+x^{2}-9x-9=0
tem exatamente três soluções (ou seja, exatamente três inteiros x que satisfazem a igualdade).
  • Informação importante (assumida pelo enunciado): estamos procurando soluções em \mathbb{Z} (inteiros).
  • Propriedades/axiomas de \mathbb{Z} que vamos usar (essas propriedades são as usuais dos inteiros):
    • fechadura de \mathbb{Z} sob adição e multiplicação (somar ou multiplicar inteiros dá inteiro);
    • propriedade distributiva: a(b+c)=ab+ac para inteiros a,b,c;
    • propriedade do produto nulo (zero-product): se um produto de inteiros é zero então pelo menos um dos fatores é zero — isto é, \mathbb{Z} não tem divisores de zero (é um domínio íntegro);
    • operações algébricas usuais (associatividade e comutatividade) para manipular expressões.
      Não se resolve nada ainda; apenas listei o pedido e as informações que usarei.

Passo 2

Técnica de fatoração por agrupamento (explicação didática):
  • A fatoração por agrupamento consiste em agrupar termos que tenham um fator comum, fatorar esse fator comum em cada grupo e depois fatorar o que sobra em comum entre os grupos.
  • Aqui a expressão é x^{3}+x^{2}-9x-9. Observe que podemos agrupar como (x^{3}-9x)+(x^{2}-9): cada grupo tem um fator comum óbvio.
  • Vou fatorar cada grupo usando a propriedade distributiva.

Passo 3

Fatorando os grupos passo a passo:
  • Primeiro grupo: x^{3}-9x. Coloca-se x em evidência:
x^{3}-9x = x\,(x^{2}-9).
  • Segundo grupo: x^{2}-9. Já está com x^{2}-9 como fator.
  • Reescrevendo a soma dos dois grupos:
x^{3}+x^{2}-9x-9 = (x^{3}-9x)+(x^{2}-9) = x\,(x^{2}-9)+(x^{2}-9).

Passo 4

Fator comum entre os dois termos resultantes:
  • Agora ambos os termos têm o fator comum (x^{2}-9). Uso a distributividade “ao contrário” (fatorando):
x\,(x^{2}-9)+(x^{2}-9) = (x^{2}-9)\,(x+1).
  • Portanto a identidade algébrica que obtivemos é
x^{3}+x^{2}-9x-9 = (x^{2}-9)\,(x+1).

Passo 5

Fatorando completamente x^{2}-9 como diferença de quadrados:
  • Lembre que diferença de quadrados fatoriza-se segundo a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
  • Aqui x^{2}-9 é x^{2}-3^{2}, logo
x^{2}-9 = (x-3)(x+3).
  • Substituindo na fatoração anterior obtemos a fatoração totalmente linear:
x^{3}+x^{2}-9x-9 = (x-3)(x+3)(x+1).

Passo 6

Aplicando a propriedade do produto nulo em \mathbb{Z} (explicação didática):
  • Em \mathbb{Z} vale a propriedade do produto nulo: se um produto de inteiros é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Esta propriedade decorre do fato de que \mathbb{Z} é um domínio íntegro (ou pode ser vista como consequência das propriedades aritméticas dos inteiros).
  • Aplicando isso à expressão fatorada, se
(x-3)(x+3)(x+1)=0,
então deve ocorrer que x-3=0 ou x+3=0 ou x+1=0.

Passo 7

Encontrando as soluções inteiras e verificando unicidade:
  • Das equações lineares resultantes obtemos, respectivamente,
    • x-3=0 \Rightarrow x=3,
    • x+3=0 \Rightarrow x=-3,
    • x+1=0 \Rightarrow x=-1.
  • Cada uma dessas três soluções é um inteiro e, substituindo-as na expressão original, cada uma anula o polinômio (pode-se verificar diretamente, se quiser).
  • Não existem outras soluções em \mathbb{Z}, porque qualquer inteiro x que anule o polinômio deve anular pelo menos um dos fatores lineares — e os únicos inteiros que anulam cada fator são precisamente os três listados acima.
  • Além disso, os fatores são distintos, logo as raízes encontradas são distintas; não há raízes extras escondidas.

Resposta

x=3
x=-3
x=-1

Exercícios relacionados