Usando os axiomas e as propriedades apresentadas sobre
, explique por que:
A equação
tem exatamente três soluções.
A equação
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
- Pede-se: explicar por que a equação definida em
tem exatamente três soluções (ou seja, exatamente três inteiros
que satisfazem a igualdade).
- Informação importante (assumida pelo enunciado): estamos procurando soluções em
(inteiros). - Propriedades/axiomas de
que vamos usar (essas propriedades são as usuais dos inteiros): - fechadura de
sob adição e multiplicação (somar ou multiplicar inteiros dá inteiro); - propriedade distributiva:
para inteiros ; - propriedade do produto nulo (zero-product): se um produto de inteiros é zero então pelo menos um dos fatores é zero — isto é,
não tem divisores de zero (é um domínio íntegro); - operações algébricas usuais (associatividade e comutatividade) para manipular expressões.
Não se resolve nada ainda; apenas listei o pedido e as informações que usarei.
- fechadura de
Passo 2
Técnica de fatoração por agrupamento (explicação didática):
- A fatoração por agrupamento consiste em agrupar termos que tenham um fator comum, fatorar esse fator comum em cada grupo e depois fatorar o que sobra em comum entre os grupos.
- Aqui a expressão é
. Observe que podemos agrupar como : cada grupo tem um fator comum óbvio. - Vou fatorar cada grupo usando a propriedade distributiva.
Passo 3
Fatorando os grupos passo a passo:
- Primeiro grupo:
. Coloca-se em evidência:
- Segundo grupo:
. Já está com como fator. - Reescrevendo a soma dos dois grupos:
Passo 4
Fator comum entre os dois termos resultantes:
- Agora ambos os termos têm o fator comum
. Uso a distributividade “ao contrário” (fatorando):
- Portanto a identidade algébrica que obtivemos é
Passo 5
Fatorando completamente
como diferença de quadrados:
- Lembre que diferença de quadrados fatoriza-se segundo
. - Aqui
é , logo
- Substituindo na fatoração anterior obtemos a fatoração totalmente linear:
Passo 6
Aplicando a propriedade do produto nulo em
(explicação didática):
- Em
vale a propriedade do produto nulo: se um produto de inteiros é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Esta propriedade decorre do fato de que é um domínio íntegro (ou pode ser vista como consequência das propriedades aritméticas dos inteiros). - Aplicando isso à expressão fatorada, se
então deve ocorrer que
ou
ou
.
Passo 7
Encontrando as soluções inteiras e verificando unicidade:
- Das equações lineares resultantes obtemos, respectivamente,
-
, -
, -
.
-
- Cada uma dessas três soluções é um inteiro e, substituindo-as na expressão original, cada uma anula o polinômio (pode-se verificar diretamente, se quiser).
- Não existem outras soluções em
, porque qualquer inteiro que anule o polinômio deve anular pelo menos um dos fatores lineares — e os únicos inteiros que anulam cada fator são precisamente os três listados acima. - Além disso, os fatores são distintos, logo as raízes encontradas são distintas; não há raízes extras escondidas.