Prove o item a seguir para
:
se e somente se
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra provar que, para todo inteiro
, a desigualdade
acontece se, e somente se,
Ou seja, a gente quer mostrar que os binomiais vão crescendo enquanto
for menor que metade de
, e depois começam a decrescer.
Conteúdo: coeficiente binomial e manipulação algébrica de frações. A chave é usar a fórmula
e olhar a razão
.
Conteúdo: coeficiente binomial e manipulação algébrica de frações. A chave é usar a fórmula
e olhar a razão
Passo 2
Vamos escrever a razão entre dois binomiais sucessivos:
Na prática, a gente cancelou
e fez
,
.
Passo 3
Agora, a desigualdade
é equivalente a
Resolver
:
E, claro, sempre supomos
(senão
nem faz sentido no enunciado).
Passo 4
Pra ter a bicondicional “se e somente se”, a gente também olha o outro lado:
- Se
, então e a razão é maior que 1, logo . - Se
, a razão tem que ser >1, levando a .
Juntando tudo, aparece exatamente a condição desejada.
Resposta
Para todo
, vale