Prove o item a seguir para n >= 1:
binomnr se e somente se 0 <= r<12(n-1).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra provar que, para todo inteiro binomnr < binomnr+1 , a desigualdade
0 <= r < tfrac12(n-1)
acontece se, e somente se,
Ou seja, a gente quer mostrar que os binomiais vão crescendo enquanto for menor que metade de , e depois começam a decrescer.
Conteúdo: coeficiente binomial e manipulação algébrica de frações. A chave é usar a fórmula

e olhar a razão
.

Passo 2

Vamos escrever a razão entre dois binomiais sucessivos:
binomnr+1binomnr = n!(r+1)!,(n-r-1)! n!r!,(n-r)! = r!,(n-r)!(r+1)!,(n-r-1)! = n-rr+1
Na prática, a gente cancelou e fez , .

Passo 3

Agora, a desigualdade binomnr+1binomnr > 1 Long<=ftrightarrow n-rr+1 > 1 é equivalente a
n-r > r+1 ;Long<=ftrightarrow; n > 2r +1 ;Long<=ftrightarrow; 2r < n-1 ;Long<=ftrightarrow; r < n-12
Resolver :
E, claro, sempre supomos (senão nem faz sentido no enunciado).

Passo 4

Pra ter a bicondicional “se e somente se”, a gente também olha o outro lado:
  • Se , então e a razão é maior que 1, logo .
  • Se , a razão tem que ser >1, levando a .
Juntando tudo, aparece exatamente a condição desejada.

Resposta

Para todo binomnr < binomnr+1 Long<=ftrightarrow 0 <= r < n-12 , vale

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