(use aproximações com 4 casas decimais) Do cálculo I, sabemos que
0,7854 .
Qual método apresenta o menor erro considerando o resultado da integral do enunciado?
Qual método apresenta o menor erro considerando o resultado da integral do enunciado?
Passo 1
Beleza, a gente tem a integral
e o assunto é Métodos Numéricos de Integração (Cálculo I). O que precisamos aqui é comparar o erro típico de cada método (regra dos retângulos, trapézio e Simpson) e ver qual deles dá o menor erro.
Passo 2
Primeiro, qual é a ideia geral do erro de cada método?
- Regra dos retângulos (esquerda ou direita) tem erro de ordem
. Em termos práticos, onde é o tamanho de cada subintervalo. - Regra do trapézio tem erro de ordem
: - Regra de Simpson é ainda melhor, com erro de ordem
:
Aqui
e
são constantes relacionadas à derivada 2ª ou 4ª da função em
, mas o ponto principal é a ordem de
.
Passo 3
Comparando as ordens:
- Retângulos: erro cai como
. - Trapézio: erro cai como
. - Simpson: erro cai como
.
Quanto maior a potência de
, mais rápido o erro diminui quando
cresce. Logo, Simpson é o que “aprisiona” o erro mais rápido.
Resposta
A Regra de Simpson apresenta o menor erro.