(use aproximações com 4 casas decimais) Do cálculo I, sabemos que integral0^1 1x^2+1 d x=pi4 simeq 0,7854 .
Qual método apresenta o menor erro considerando o resultado da integral do enunciado?

Passo 1

Beleza, a gente tem a integral
integral0^1 1x^2+1,dx = pi4 simeq 0,7854
e o assunto é Métodos Numéricos de Integração (Cálculo I). O que precisamos aqui é comparar o erro típico de cada método (regra dos retângulos, trapézio e Simpson) e ver qual deles dá o menor erro.

Passo 2

Primeiro, qual é a ideia geral do erro de cada método?
  1. Regra dos retângulos (esquerda ou direita) tem erro de ordem Eretângulo approx C1,h, . Em termos práticos, Etrapézio <= K12(b-a)^3,1n^2sim C2,h^2 âonde ESimpson <= K'180(b-a)^5,1n^4sim C3,h^4 é o tamanho de cada subintervalo.
  2. Regra do trapézio tem erro de ordem : é
  3. Regra de Simpson é ainda melhor, com erro de ordem :
Aqui e são constantes relacionadas à derivada 2ª ou 4ª da função em , mas o ponto principal é a ordem de .

Passo 3

Comparando as ordens:
  • Retângulos: erro cai como .
  • Trapézio: erro cai como .
  • Simpson: erro cai como .
Quanto maior a potência de , mais rápido o erro diminui quando cresce. Logo, Simpson é o que “aprisiona” o erro mais rápido.

Resposta

A Regra de Simpson apresenta o menor erro.

Exercícios relacionados