(use aproximações com 4 casas decimais) Do cálculo I, sabemos que integral0^1 1x^2+1 d x=pi4 simeq 0,7854 . Calcule:
Integral pela Regra de Romberg com N=3.

Passo 1

Tranquilo, o exercício pede pra calcular
integral0^11x^2+1,dx
usando a Regra de Romberg com N=3. Isso envolve:
  1. aplicar a Regra do Trapézio várias vezes (com subdivisões n=1,2,4);
  2. fazer extrapolação de Richardson para melhorar a precisão.
    Vamos precisar da função
f(x)=1x^2+1
e da ideia de passo .

Passo 2

Primeiro, com n=1 (ou seja h=1), a Regra do Trapézio simples dá
R1,1 ;=; h2l(f(0)+f(1)r) ;=;12l(1 + 0,5r) ;=;0,7500

Passo 3

Agora n=2 (h=½). Pontos: R2,1 ;=;h2l(f(0)+2f(0,5)+f(1)r) ;=;0,52l(1 +2cdot0,8 +0,5r) ;=;0,7750 .

Passo 4

Agora n=4 (h=¼). Pontos: f(0,25)=0,9412, f(0,75)=0,6400 .
R3,1 =0,252l(1 +2(0,9412+0,8+0,64)+0,5r) approx0,7828

Passo 5

Extrapolação para R2,2 =R2,1+R2,1-R1,14^1-1 =0,7750+0,7750-0,75003 =0,7833 :

Passo 6

Extrapolação para R3,2 =R3,1+R3,1-R2,14^1-1 =0,7828+0,7828-0,77503 =0,7854 :

Passo 7

Por fim, R3,3 =R3,2+R3,2-R2,24^2-1 =0,7854+0,7854-0,783315 approx0,7855 :

Resposta

Usando a Regra de Romberg com N=3, a integral fica aproximadamente
boxed0,7855

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