Prove que, para todo n in N e a>0,
underbraceraiza+raiza+raiza+cdots+raizan- radicais <1+raiz4 a+12

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro underbraceraiza+raiza+cdots+raizan radicais e todo L ;=;1+raiz4a+12 , a expressão
é sempre menor que
O conteúdo aqui é de sequência definida recursivamente e prova por indução. Vamos usar:
  1. Definir a sequência como aquele radical de profundidade .
  2. Ver que existe um “candidato” (solução de uma equação quadrática) que serve de limite superior.
  3. Fazer prova por indução em .

Passo 2

Definimos
x1 = raiza, xn+1 = raiz,a + xn,
Ou seja, L = raiza+L Longrightarrow L^2 = a + L Longrightarrow L^2 - L - a = 0 é exatamente o radicando aninhado até a profundidade L = 1pmraiz1 + 4a2 .
Agora a ideia é achar um valor L = 1 + raiz4a+12 tal que, heurísticamente, .
Resolver a equação
As raízes são
Como queremos , pegamos

Passo 3

(Base da indução)
Para , . Vamos mostrar :
2 <1+
é verdade porque . Logo .

Passo 4

(Passo indutivo)
Suponha que, para algum xn+1 = raiza + xn < raiza + L , valha L^2 = a + L Longrightarrow raiza + L = raizL^2 = L .
Então
Mas pela equação que definiu , temos
(levando em conta ).
Logo .

Passo 5

Pelo princípio de indução, concluímos que para todo xn < L = 1 + raiz4a+12 vale

Resposta

underbraceraiza+raiza+cdots+raizan radicais ;<; 1+raiz4a+12

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