Isso é conteúdo de princípio da indução matemática e um pouco de progressão geométrica (porque cada “bloco de 7” é tipo uma soma envolvendo potências de 10). Pra resolver, a gente vai:
conferir o caso base;
supor que a fórmula vale pra um qualquer;
mostrar que então ela vale pra .
Passo 2
Caso base ( 7l(10^1+1-9cdot1-10r)81 = 7(10^2 - 9 - 10)81 = 7(100 - 19)81 = 7cdot8181 =7 ).
Lado esquerdo: só tem o primeiro termo, que é .
Lado direito:
Deu certinho, ambos valem 7.
Passo 3
Hipótese de indução.
Suponha que pra um S(n);=;7 + 77 + cdots + underbrace777cdots7n vezes ;=;7l(10^n+1-9n-10r)81 qualquer valha
Passo 4
Passo de indução ( S(n+1) = 7 + 77 + cdots + underbrace777cdots7n vezes + underbrace777cdots7(n+1) vezes ).
A gente quer mostrar que