Use o princípio da indução para provar as seguintes afirmações:
7+77+777+cdots+underbrace777 ldots 7n- vezes =7(10^n+1-9 n-10) / 81;

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra provar, por indução, que
7 + 77 + 777 + cdots + underbrace777cdots7n vezes = 7l(10^n+1-9n-10r)81
Isso é conteúdo de princípio da indução matemática e um pouco de progressão geométrica (porque cada “bloco de 7” é tipo uma soma envolvendo potências de 10). Pra resolver, a gente vai:
  1. conferir o caso base;
  2. supor que a fórmula vale pra um qualquer;
  3. mostrar que então ela vale pra .

Passo 2

Caso base ( 7l(10^1+1-9cdot1-10r)81 = 7(10^2 - 9 - 10)81 = 7(100 - 19)81 = 7cdot8181 =7 ).
Lado esquerdo: só tem o primeiro termo, que é .
Lado direito:
Deu certinho, ambos valem 7.

Passo 3

Hipótese de indução.
Suponha que pra um S(n);=;7 + 77 + cdots + underbrace777cdots7n vezes ;=;7l(10^n+1-9n-10r)81 qualquer valha

Passo 4

Passo de indução ( S(n+1) = 7 + 77 + cdots + underbrace777cdots7n vezes + underbrace777cdots7(n+1) vezes ).
A gente quer mostrar que
7l(10^(n+1)+1-9(n+1)-10r)81
bate com
S(n+1) = S(n) ;+; underbrace777cdots7n+1
Bom, pelo que assumimos
underbrace777cdots7k = 7 + 70 + 700 + cdots + 7cdot10^k-1 = 7sumi=0^k-110^i = 7;10^k-19
Mas cada termo “ an+1 = 7,10^,n+1-19 com S(n+1) &= 7l(10^n+1-9n-10r)81 ;+; 7,10^n+1-19 integralertextVamos colocar tudo sobre 81: &= 7l(10^n+1-9n-10r)81 + 9cdot7l(10^n+1-1r)81 &= 7l(10^n+1-9n-10r) +63l(10^n+1-1r)81 &= 7cdot10^n+1-63n-70 +63cdot10^n+1-6381 &= 70cdot10^n+1-63n-13381 setes” é
70cdot10^n+1-63n-133 =7l(10^n+2-9n-19r) =7l(10^(n+1)+1-9(n+1)-10r)
Então o novo termo (com ) vale
Logo
Repare que e , então
Isso é exatamente o que queríamos provar pro .

Resposta

Portanto, pelo princípio da indução, para todo 7 + 77 + 777 + cdots + underbrace777cdots7n vezes ;=;7l(10^n+1-9n-10r)81 vale

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