A sequência a1, a2, ldots, an, ldots de números é tal que a1=3, a2=5 e an+1=3 an-2 an-1, para n>2. Prove que an=2^n+1, forall n in N.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma sequência definida por:
a1=3, a2=5, an+1=3,an-2,an-1(n>2)
O objetivo é provar que, para todo an=2^n+1 , vale
O conteúdo principal que vamos usar é o princípio da indução matemática, além de entender como funcionam sequências definidas por recorrência.

Passo 2

Base da indução. A gente confere que a fórmula funciona para os primeiros valores:
  • Para : a fórmula diz . E, de fato, foi dado .
  • Para : a fórmula diz . E, de fato, foi dado .
Então a base está certinha!

Passo 3

Passo indutivo. Agora supomos como hipótese de indução que, para algum ak=2^k+1 e ak-1=2^,k-1+1 , vale
ak+1=2^,k+1+1
A ideia é mostrar que, sob essa hipótese, vale também

Passo 4

Usamos a relação de recorrência para calcular ak+1 =3,ak-2,ak-1 :
ak+1 =3l(2^k+1r);-;2l(2^,k-1+1r)
Substituindo as hipóteses de indução:
ak+1 &=3cdot2^k+3 ;-;2cdot2^,k-1-2 &=l(3cdot2^k-2cdot2^,k-1r)+(3-2) &=l(3cdot2^k-2^kr)+1 (porque 2cdot2^,k-1=2^k) &=(3-1),2^k+1 &=2cdot2^k+1 &=2^,k+1+1
Agora é só distribuir e simplificar:
Pronto! A gente mostrou que, se vale para e , então vale para .

Resposta

Logo, por indução matemática, concluímos que, para todo boxedan=2^n+1 ,

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