A sequência
de números é tal que
e
, para
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma sequência definida por:
O objetivo é provar que, para todo
, vale
O conteúdo principal que vamos usar é o princípio da indução matemática, além de entender como funcionam sequências definidas por recorrência.
Passo 2
Base da indução. A gente confere que a fórmula funciona para os primeiros valores:
- Para
: a fórmula diz . E, de fato, foi dado . - Para
: a fórmula diz . E, de fato, foi dado .
Então a base está certinha!
Passo 3
Passo indutivo. Agora supomos como hipótese de indução que, para algum
, vale
A ideia é mostrar que, sob essa hipótese, vale também
Passo 4
Usamos a relação de recorrência para calcular
:
Substituindo as hipóteses de indução:
Agora é só distribuir e simplificar:
Pronto! A gente mostrou que, se vale para
e
, então vale para
.
Resposta
Logo, por indução matemática, concluímos que, para todo
,