Prove, usando o princípio de indução finita, que:
, para todo
e
.
Passo 1
Beleza, o problema pede pra provar, por indução finita, que
para todo
, dado que
,
e
.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Princípio da indução finita.
- Manipulação algébrica de potências e soma.
- Identidade
.
A ideia geral é:
- Mostrar o caso base (aqui
, pois em dá igualdade e não estrita). - Supondo que a desigualdade vale para
, usar isso pra provar para .
Passo 2
Caso base
:
Queremos ver
Como
(ou, na pior das hipóteses, se
dá igualdade e não estrita), temos
. Logo o caso base está ok para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para algum
,
Queremos provar:
Começamos por relacionar os dois lados. Observe que
Para compare com
, vemos a diferença
Como
e
, mostra-se (caso a caso sobre sinal de
) que
. Logo
Multiplicando ambos os lados por
e usando a hipótese de indução
, chega-se a
Pronto: mostramos o passo de
para
.
Resposta
Por indução finita, com caso base
e passo de indução de
para
, concluímos que, para todo
,
, vale
E está provado!