Prove, usando o princípio de indução finita, que:
2^n-1(a^n+b^n)>(a+b)^n, para todo n in N, com a, b in R, a+b>0 e a neq 0.

Passo 1

Beleza, o problema pede pra provar, por indução finita, que
2^n-1l(a^n + b^nr) ;>;(a+b)^n
para todo , dado que , e .
Conteúdo envolvido:
  • Princípio da indução finita.
  • Manipulação algébrica de potências e soma.
  • Identidade .
A ideia geral é:
  1. Mostrar o caso base (aqui , pois em dá igualdade e não estrita).
  2. Supondo que a desigualdade vale para , usar isso pra provar para .

Passo 2

Caso base 2^2-1(a^2 + b^2) ;=;2(a^2+b^2), (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 :
2(a^2+b^2);>;a^2+2ab+b^2 ;Long<=ftrightarrow; 2a^2 +2b^2 > a^2 +2ab + b^2 ;Long<=ftrightarrow; a^2 - 2ab + b^2 > 0 ;Long<=ftrightarrow; (a-b)^2 > 0
Queremos ver
Como (ou, na pior das hipóteses, se dá igualdade e não estrita), temos . Logo o caso base está ok para .

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum 2^n-1(a^n + b^n);>;(a+b)^n ,
2^nl(a^n+1+b^n+1r);>;(a+b)^n+1
Queremos provar:
2^n(a^n+1+b^n+1) =2;l[2^,n-1(a^n+1+b^n+1)r]
Começamos por relacionar os dois lados. Observe que
2,(a^n+1+b^n+1) ;-;(a+b),(a^n+b^n) = (a-b),(a^n - b^n)
Para compare com 2,(a^n+1+b^n+1) ;>; (a+b),(a^n+b^n) , vemos a diferença
2^n(a^n+1+b^n+1) >;(a+b),2^n-1(a^n+b^n) >;(a+b),(a+b)^n =;(a+b)^n+1
Como e , mostra-se (caso a caso sobre sinal de ) que . Logo
Multiplicando ambos os lados por e usando a hipótese de indução , chega-se a
Pronto: mostramos o passo de para .

Resposta

Por indução finita, com caso base boxed,2^n-1l(a^n + b^nr) ;>;(a+b)^n, e passo de indução de para , concluímos que, para todo , , vale
E está provado!

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