Prove, usando o princípio de indução finita, que:
3^n-1<2^n^2, para todo n in N.

Passo 1

Enunciado resumido: mostrar, para todo 3^,n-1 < 2^,n^2 , que
Conteúdo da matéria: princípio da indução finita e propriedades de potências.
O que vamos precisar:
  1. Ver o caso base (normalmente ).
  2. Assumir que a desigualdade vale para um certo (hipótese de indução).
  3. A partir daí, usar essa hipótese e regras de potências para provar que vale para .

Passo 2

(Caso base 3^1-1 = 3^0 = 1 e 2^1^2 = 2^1 = 2, )
Para temos
então . O caso base está confirmado.

Passo 3

(Passo indutivo)
Suponha que, para um 3^,k-1 < 2^,k^2 , valha
3^,(k+1)-1 = 3^k < 2^,(k+1)^2 = 2^,k^2 + 2k + 1
Queremos mostrar que então
3^,k-1 < 2^,k^2
Começamos a partir da hipótese de indução:
3cdot 3^,k-1 = 3^k < 3cdot 2^,k^2
Multiplicando os dois lados por 3 (que é positivo, não inverte a desigualdade):
3cdot 2^,k^2 <= 2^,k^2+2k+1
Logo basta ver que
3 <= 2^,2k+1
Isso equivale a
2^,2k+1;>=;2^3;=;8,
Mas, para , temos , daí
e claramente .
Logo , fechando a indução.

Resposta

Pela indução finita, concluímos que para todo boxed3^,n-1 < 2^,n^2 vale

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