Prove, usando o princípio de indução finita, que:
, para todo
.
Passo 1
Enunciado resumido: mostrar, para todo
, que
Conteúdo da matéria: princípio da indução finita e propriedades de potências.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Ver o caso base (normalmente
). - Assumir que a desigualdade vale para um certo
(hipótese de indução). - A partir daí, usar essa hipótese e regras de potências para provar que vale para
.
Passo 2
(Caso base
)
Para temos
Para
então
. O caso base está confirmado.
Passo 3
(Passo indutivo)
Suponha que, para um , valha
Suponha que, para um
Queremos mostrar que então
Começamos a partir da hipótese de indução:
Multiplicando os dois lados por 3 (que é positivo, não inverte a desigualdade):
Logo basta ver que
Isso equivale a
Mas, para
, temos
, daí
e claramente
.
Logo , fechando a indução.
Logo
Resposta
Pela indução finita, concluímos que para todo
vale