Q3: Calcule os autovalores de ccc3 & 5 & 9 0 & 4 & 1 0 & 1 & 2

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui: a gente quer calcular os autovalores da matriz
C = 3 & 5 & 9 0 & 4 & 1 0 & 1 & 2
Conteúdo: autovalores (ou valores próprios) de uma matriz.
O que precisamos:
  1. Montar a equação característica .
  2. Calcular esse determinante, obter um polinômio em .
  3. Resolver o polinômio para achar os .

Passo 2

Primeiro, lembrando a definição: \emph{autovalores} são os números det(C - lambda I) = 0 que satisfazem
Aqui, é a matriz identidade . A ideia é subtrair na diagonal de e calcular o determinante dessa nova matriz.

Passo 3

Então vamos escrever
C - lambda I = 3-lambda & 5 & 9 0 & 4-lambda & 1 0 & 1 & 2-lambda
Agora precisamos de .

Passo 4

Para calcular o determinante dessa matriz, usamos a expansão pela primeira linha (por exemplo):
det(C-lambda I) = (3-lambda),det4-lambda & 11 & 2-lambda -5cdotdet0 & 10 & 2-lambda +9cdotdet0 & 4-lambda0 & 1
As duas últimas determinantes são zero (porque têm uma linha de zeros). Então só fica
(3-lambda),l[(4-lambda)(2-lambda)-1cdot1r]
Vamos simplificar o que está entre colchetes:
(4-lambda)(2-lambda)-1 = (8 -4lambda -2lambda +lambda^2) -1 = lambda^2 -6lambda +7
Então
det(C-lambda I) = (3-lambda),(lambda^2 -6lambda +7)

Passo 5

Agora a equação característica é
(3-lambda)(lambda^2 -6lambda +7) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. lambda = 6 pm raiz(-6)^2 -4cdot1cdot72 = 6 pm raiz36-282 = 6 pm raiz82 = 3 pm raiz2 .
  2. . Para essa segunda, usamos a fórmula de Bhaskara:

Resposta

Os autovalores de boxed;3, 3 + raiz2, 3 - raiz2; são

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