Q2 - calcule a integral I=\int_{0}^{1} e^{x} d x pela regra de simpson para n=8 subdivisóes. (0.6)

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I = \int_{0}^{1} e^{x}\,dx
usando a regra composta de Simpson com n=8 subdivisões. Vamos dividir [0,1] em 8 subintervalos de mesmo comprimento h, avaliar f(x_i)=e^{x_i} nos nós x_i, montar as somas de Simpson e aplicar a fórmula.

Passo 2

O comprimento de cada subintervalo é
h = \frac{1 - 0}{8} = 0,125.
Definimos
x_i = 0 + i\,h,\quad i=0,1,\dots,8,
e calculamos
\begin{aligned} f_0 &= e^{0} = 1,\\\ f_1 &= e^{0,125} \approx 1,133148,\\\ f_2 &= e^{0,25} \approx 1,284025,\\\ f_3 &= e^{0,375} \approx 1,454992,\\\ f_4 &= e^{0,5} \approx 1,648721,\\\ f_5 &= e^{0,625} \approx 1,868246,\\\ f_6 &= e^{0,75} \approx 2,117000,\\\ f_7 &= e^{0,875} \approx 2,398877,\\\ f_8 &= e^{1} = 2,718282. \end{aligned}

Passo 3

A regra composta de Simpson diz que
I \approx \frac{h}{3}\Bigl(f_0 + f_8 \;+\; 4\sum_{i=1,3,5,7}f_i \;+\; 2\sum_{i=2,4,6}f_i\Bigr).
Calculando as somas intermediárias:
\sum_{i=1,3,5,7}f_i \approx 1,133148 + 1,454992 + 1,868246 + 2,398877 = 6,855263,
\sum_{i=2,4,6}f_i \approx 1,284025 + 1,648721 + 2,117000 = 5,049746.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Simpson:
\begin{aligned} I &\approx \frac{0,125}{3}\Bigl(1 + 2,718282 + 4\cdot6,855263 + 2\cdot5,049746\Bigr)\\\ &= \frac{0,125}{3}\bigl(3,718282 + 27,421052 + 10,099492\bigr)\\\ &= \frac{0,125}{3}\times 41,238826\\\ &\approx 1,71828. \end{aligned}

Resposta

\displaystyle I\approx1,71828

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