Q3- Calcule pelo método de euler: y^{\prime}-y=2 t e^{2 t}, \quad y(0)=1 \quad h=0,5 para ya. (0,8)

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y'-y=2\,t\,e^{2t},\quad y(0)=1
e pede uma aproximação de y(0,8) pelo método de Euler com passo h=0,5. Para usar o método, precisamos da fórmula iterativa
y_{n+1}=y_n + h\,f(t_n,y_n),
onde f(t,y)=y+2\,t\,e^{2t}.

Passo 2

Como 0,8 não é múltiplo exato de h=0,5, fazemos um primeiro passo com
h_1=0,5,\quad t_0=0,\;y_0=1,\;t_1=t_0+h_1=0,5
e depois um segundo passo com
h_2=0,8-0,5=0,3,\quad t_2=0,8.

Passo 3

No primeiro passo, calculamos
f(t_0,y_0)=f(0,1)=1+2\cdot0\cdot e^{0}=1,
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y_1 = y_0 + h_1\,f(t_0,y_0) = 1 + 0,5\cdot1 = 1,5.

Passo 4

No segundo passo, temos
f(t_1,y_1)=f(0,5,\,1,5)=1,5 + 2\cdot0,5\,e^{1}=1,5 + e,
então
y_2 = y_1 + h_2\,f(t_1,y_1) = 1,5 + 0,3\,(1,5 + e) = 1,95 + 0,3\,e.
Numericamente, como e\approx2,71828,
y(0,8)\approx 1,95 + 0,3\cdot2,71828 \approx 2,7655.

Resposta

Aproximação pelo método de Euler:
y(0,8)\approx2,77.

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