Uma indústria libera poluentes no rio conforme a taxa f(t)=3 t^{2}-2 t+5, sendo t o tempo em horas e f(t) medido em kg/h. Calcule a quantidade total de poluentes lançados entre 1 e 6 horas usando:
Regra de Simpson com n=4.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de emissão de poluentes
f(t)=3t^{2}-2t+5
em kg/h, e pede a quantidade total de poluentes lançados de t=1 a t=6 horas usando a Regra de Simpson com n=4. O conteúdo aqui é integração numérica por Simpson.

Passo 2

Dividimos o intervalo [1,6] em n=4 subintervalos de mesma largura
h=\frac{6-1}{4}=1{,}25.
Os nós são
t_{i}=1+i\,h,\quad i=0,1,2,3,4,
isto é
\;t_{0}=1, \;t_{1}=2{,}25, \;t_{2}=3{,}5, \;t_{3}=4{,}75, \;t_{4}=6.

Passo 3

Calculamos f em cada nó:
\;f_{0}=f(1)=3\cdot1^{2}-2\cdot1+5=6,
\;f_{1}=f(2{,}25)=3\cdot(2{,}25)^{2}-2\cdot2{,}25+5=15{,}6875,
\;f_{2}=f(3{,}5)=3\cdot(3{,}5)^{2}-2\cdot3{,}5+5=34{,}75,
\;f_{3}=f(4{,}75)=3\cdot(4{,}75)^{2}-2\cdot4{,}75+5=63{,}1875,
\;f_{4}=f(6)=3\cdot6^{2}-2\cdot6+5=101.

Passo 4

A Regra de Simpson diz que
\int_{1}^{6}f(t)\,dt\approx \frac{h}{3}\bigl(f_{0}+4f_{1}+2f_{2}+4f_{3}+f_{4}\bigr).

Passo 5

Substituindo os valores:
f_{0}+4f_{1}+2f_{2}+4f_{3}+f_{4} =6+4\cdot15{,}6875+2\cdot34{,}75+4\cdot63{,}1875+101=492.
Logo
\int_{1}^{6}f(t)\,dt\approx \frac{1{,}25}{3}\times492=205.

Resposta

A quantidade total de poluentes lançados entre 1 e 6 horas, pela Regra de Simpson com n=4, é aproximadamente 205 kg.

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