Uma indústria libera poluentes no rio conforme a taxa f(t)=3 t^{2}-2 t+5, sendo t o tempo em horas e f(t) medido em kg/h. Calcule a quantidade total de poluentes lançados entre 1 e 6 horas usando:
Regra do Trapézio com n=5.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{1}^{6}f(t)\,dt\quad\text{onde}\quad f(t)=3t^{2}-2t+5
usando a Regra do Trapézio com n=5.
Conteúdo: métodos de integração numérica (Regra do Trapézio). Precisamos calcular o tamanho do passo h, os nós t_i, avaliar f(t_i) e aplicar a fórmula do trapézio.

Passo 2

Calcular o tamanho do subintervalo h pela fórmula
h=\frac{b-a}{n}
com a=1, b=6 e n=5:
h=\frac{6-1}{5}=1.

Passo 3

Determinar os nós do particionamento:
t_i = a + i\,h = 1 + i\,(1),\quad i=0,1,2,3,4,5.
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t_0=1,\;t_1=2,\;t_2=3,\;t_3=4,\;t_4=5,\;t_5=6.

Passo 4

Avaliar f em cada nó:
\begin{aligned} f(1)&=3\cdot1^{2}-2\cdot1+5=6,\\\ f(2)&=3\cdot2^{2}-2\cdot2+5=13,\\\ f(3)&=3\cdot3^{2}-2\cdot3+5=26,\\\ f(4)&=3\cdot4^{2}-2\cdot4+5=45,\\\ f(5)&=3\cdot5^{2}-2\cdot5+5=70,\\\ f(6)&=3\cdot6^{2}-2\cdot6+5=101. \end{aligned}

Passo 5

Escrever a Regra do Trapézio para n subintervalos:
T_{n} = h\Biggl(\frac{f(t_{0})+f(t_{n})}{2} \;+\;\sum_{i=1}^{n-1}f(t_{i})\Biggr).

Passo 6

Substituir h=1, f(t_0)=6, f(t_5)=101 e a soma dos interiores 13+26+45+70:
T_{5} = 1\Biggl(\frac{6+101}{2} + (13+26+45+70)\Biggr) = \frac{107}{2} + 154.

Passo 7

Calcular o valor numérico:
T_{5}=53{,}5 + 154 = 207{,}5.

Resposta

A quantidade total aproximada de poluentes entre 1 h e 6 h é 207{,}5 kg.

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