Na quadratura de Gauss-Legendre, se a função integrando for um polinômio de grau 7, então a quadratura com 3,4 e 5 pontos produzirão resultados iguais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a quadratura de Gauss-Legendre, que é uma técnica para calcular integrais, tipo encontrar a área sob uma curva. A questão diz que, se a função que estamos integrando for um polinômio de grau 7, então usar a quadratura com 3, 4 e 5 pontos vai dar o mesmo resultado. Vamos descobrir se isso é verdade!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a quadratura de Gauss-Legendre. Essa técnica escolhe pontos específicos (chamados de pontos de Gauss) e pesos para aproximar a integral de uma função. A grande sacada é que, com certo número de pontos, a quadratura pode calcular exatamente integrais de polinômios até um certo grau.
Passo 3
Agora, vamos ver até que grau cada quadratura pode integrar exatamente:
- Quadratura com n pontos pode integrar exatamente polinômios até o grau
.
Então:
- 3 pontos:
→ integra até grau 5. - 4 pontos:
→ integra até grau 7. - 5 pontos:
→ integra até grau 9.
Passo 4
O exercício pede para uma função que é um polinômio de grau 7. Vamos ver o que isso significa para cada quadratura:
- 3 pontos: Só integra até grau 5. Como 7 é maior que 5, essa quadratura não vai ser exata para um polinômio de grau 7.
- 4 pontos: Integra até grau 7. Como nosso polinômio é exatamente grau 7, essa quadratura vai ser exata.
- 5 pontos: Integra até grau 9. Como 7 é menor que 9, essa também vai ser exata.
Passo 5
Então, resumindo:
- 3 pontos: Resultado não exato para grau 7.
- 4 pontos: Resultado exato para grau 7.
- 5 pontos: Resultado exato para grau 7.
Resposta
A afirmação é falsa. Apenas as quadraturas com 4 e 5 pontos produzem resultados iguais e exatos para um polinômio de grau 7, enquanto a quadratura com 3 pontos não.