Quantas fraçōes da forma \frac{n}{n+1} são menores do que \frac{7}{9}, sabendo que n é um número inteiro positivo?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Passo 1

O enunciado pede: “Quantas frações da forma \frac{n}{n+1} são menores do que \frac{7}{9}, sabendo que n é um número inteiro positivo?”\n
Informações dadas:
  • A forma das frações é \frac{n}{n+1}.
  • A restrição é que n é um número inteiro positivo (ou seja, n\in\{1,2,3,\dots\}).
  • Queremos contar quantos valores de n fazem \frac{n}{n+1} < \frac{7}{9}.
  • As alternativas de resposta são: A) 1, B) 2, C) 3, D) 4, E) 5.

Passo 2

Vamos transformar a desigualdade \frac{n}{n+1} < \frac{7}{9} em uma desigualdade sem frações, para resolver para n.\n
Antes de multiplicar, é importante observar que n é inteiro positivo, então n+1>0. Isso significa que, ao multiplicarmos ambos os lados por n+1 ou por 9(n+1), o sentido da desigualdade não muda. Sempre controle o sinal do que você multiplica numa desigualdade!

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 9(n+1) (positivo), obtemos:
9n < 7(n+1).
Agora desenvolvemos o lado direito:
9n < 7n + 7.

Passo 4

Isolamos n:
9n - 7n < 7 \quad\Rightarrow\quad 2n < 7.
Dividindo por 2 (positivo),
n < \frac{7}{2} = 3{,}5.

Passo 5

Como n é inteiro positivo, os valores possíveis que satisfazem n < 3{,}5 são n=1,2,3.\n
Para ter confiança, podemos verificar rapidamente cada um:
  • \dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}=0{,}5 < \dfrac{7}{9}.
  • \dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}\approx0{,}666\ldots < \dfrac{7}{9}.
  • \dfrac{3}{3+1}=\dfrac{3}{4}=0{,}75 < \dfrac{7}{9}.
    E para n=4: \dfrac{4}{5}=0{,}8 > \dfrac{7}{9}, logo n=4 não serve. Isso confirma que apenas n=1,2,3 funcionam.

Passo 6

Contando os valores válidos n=1,2,3, obtemos 3 frações da forma \frac{n}{n+1} que são menores do que \frac{7}{9}.\n
A alternativa correta é a letra C.

Resposta

C) 3

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