Quantas iterações são necessárias para calcular o zero de f(x)=e^x-x-2 usando o método da bisseção com erro inferior a 10^-1.

Passo 1

Beleza, resumindo o que a gente tem aqui: o enunciado pede pra descobrir quantas iterações do método da bisseção são necessárias para achar uma raiz de
f(x)=e^x - x - 2
com erro menor que b-a2^n < to<=rância .
Conteúdo envolvido:
1) Escolher um intervalo que “prenda” a raiz, ou seja, com .
2) Saber que, a cada iteração do método da bisseção, o tamanho do intervalo vai sendo dividido por 2.
3) Usar a fórmula do erro máximo depois de iterações:
â

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar tal que e tenham sinais diferentes. Vamos testar uns valores:
  • (negativo)
  • (positivo)
Pronto! Temos e , logo há raiz em .

Passo 3

Teoria do método da bisseção (sem pular etapas):
  • Você começa com o intervalo inicial b-a2^n .
  • A cada iteração, calcula o ponto médio e vê em qual metade tem troca de sinal.
  • O novo comprimento do intervalo é .
  • Depois de iterações o comprimento do intervalo é
Como a raiz está dentro desse intervalo, o erro máximo na estimativa da raiz também é menor que .

Passo 4

Queremos que esse erro seja menor que b-a2^n < 10^-1 . Ou seja:
12^n < 0,1 Longrightarrow 2^n > 10,1 = 10
Aqui , então
Passo seguinte: achar o menor inteiro que satisfaça .

Passo 5

Calculemos:
  • (ainda não é maior que 10)
  • (já é maior que 10)
Logo, o menor inteiro que funciona é .

Resposta

São necessárias 4 iterações para garantir erro inferior a .

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