Quantas iterações são necessárias para calcular o zero de
usando o método da bisseção com erro inferior a
.
Passo 1
Beleza, resumindo o que a gente tem aqui: o enunciado pede pra descobrir quantas iterações do método da bisseção são necessárias para achar uma raiz de
com erro menor que
Conteúdo envolvido:
1) Escolher um intervalo
2) Saber que, a cada iteração do método da bisseção, o tamanho do intervalo vai sendo dividido por 2.
3) Usar a fórmula do erro máximo depois de
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar
tal que
e
tenham sinais diferentes. Vamos testar uns valores:
-
(negativo) -
(positivo)
Pronto! Temos
e
, logo há raiz em
.
Passo 3
Teoria do método da bisseção (sem pular etapas):
- Você começa com o intervalo inicial
. - A cada iteração, calcula o ponto médio
e vê em qual metade tem troca de sinal. - O novo comprimento do intervalo é
. - Depois de
iterações o comprimento do intervalo é
Como a raiz está dentro desse intervalo, o erro máximo na estimativa da raiz também é menor que
.
Passo 4
Queremos que esse erro seja menor que
. Ou seja:
Aqui
, então
Passo seguinte: achar o menor
inteiro que satisfaça
.
Passo 5
Calculemos:
-
(ainda não é maior que 10) -
(já é maior que 10)
Logo, o menor
inteiro que funciona é
.
Resposta
São necessárias 4 iterações para garantir erro inferior a
.