Seja
um intervalo aberto e
uma função de classe
. Calcule a iteração de Newton para calcular um minimo local de
.
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado pede: a gente tem uma função f de classe C² num intervalo I⊂ℝ e quer montar a iteração de Newton para achar um mínimo local de f.
Conteúdo: método de Newton em uma variável e expansão de Taylor até a segunda ordem. Vamos precisar saber como aproximar f por um polinômio (Taylor) e como achar o mínimo desse polinômio.
Conteúdo: método de Newton em uma variável e expansão de Taylor até a segunda ordem. Vamos precisar saber como aproximar f por um polinômio (Taylor) e como achar o mínimo desse polinômio.
Passo 2
A ideia central é aproximar f em torno de um palpite xₖ usando a expansão de Taylor até a segunda ordem:
Isso cria uma parábola que bate com f em x_k até a curvatura (segunda derivada).
Passo 3
Para achar o mínimo dessa parábola aproximada, a gente calcula a derivada em relação a x e iguala a zero. A derivada de
é
Passo 4
Agora impomos P’(x)=0 para achar o ponto de mínimo da parábola:
Isso diz onde está o mínimo da aproximação quadrática.
Resposta
Daí a iteração de Newton para um mínimo local fica: