Seja I subset R um intervalo aberto e f: I R uma função de classe C^2. Calcule a iteração de Newton para calcular um minimo local de f.

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado pede: a gente tem uma função f de classe C² num intervalo I⊂ℝ e quer montar a iteração de Newton para achar um mínimo local de f.
Conteúdo: método de Newton em uma variável e expansão de Taylor até a segunda ordem. Vamos precisar saber como aproximar f por um polinômio (Taylor) e como achar o mínimo desse polinômio.

Passo 2

A ideia central é aproximar f em torno de um palpite xₖ usando a expansão de Taylor até a segunda ordem:
f(x)approx f(xk) + f'(xk),(x - xk) + tfrac12,f''(xk),(x - xk)^2
Isso cria uma parábola que bate com f em x_k até a curvatura (segunda derivada).

Passo 3

Para achar o mínimo dessa parábola aproximada, a gente calcula a derivada em relação a x e iguala a zero. A derivada de
P(x)=f(xk) + f'(xk)(x - xk) + tfrac12 f''(xk)(x - xk)^2
é
P'(x)=f'(xk) + f''(xk),(x - xk)

Passo 4

Agora impomos P’(x)=0 para achar o ponto de mínimo da parábola:
f'(xk) + f''(xk),(x - xk)=0 Longrightarrow x - xk = -f'(xk)f''(xk)
Isso diz onde está o mínimo da aproximação quadrática.

Resposta

Daí a iteração de Newton para um mínimo local fica:
boxedxk+1 = xk - f'(xk)f''(xk)

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