Quantas operações de adição e multiplicação são requeridas para o polinômio P9(x)=3 x^9+2 x^8-10 x^7+2 x^6-15 x^5-3 x^4+2 x^3-16 x^2+3 x-5. Qual o valor de P9(2) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um polinômio de 9ª grau:
P9(x) = 3x^9 + 2x^8 - 10x^7 + 2x^6 - 15x^5 - 3x^4 + 2x^3 - 16x^2 + 3x - 5
Precisamos descobrir quantas operações de adição e multiplicação são necessárias para escrever esse polinômio e também calcular o valor de P9(2). Para isso, vamos usar conceitos de álgebra sobre polinômios e substituição de valores.

Passo 2

Primeiro, vamos contar as operações de adição e multiplicação no polinômio. Cada termo do polinômio envolve multiplicação e depois soma ou subtração com os outros termos.

Passo 3

Vamos identificar cada termo e ver quantas multiplicações e adições temos:
  1. 3x^9: Multiplicação (3 * x^9)
  2. + 2x^8: Adição e multiplicação (2 * x^8)
  3. - 10x^7: Subtração e multiplicação (10 * x^7)
  4. + 2x^6: Adição e multiplicação (2 * x^6)
  5. - 15x^5: Subtração e multiplicação (15 * x^5)
  6. - 3x^4: Subtração e multiplicação (3 * x^4)
  7. + 2x^3: Adição e multiplicação (2 * x^3)
  8. - 16x^2: Subtração e multiplicação (16 * x^2)
  9. + 3x: Adição e multiplicação (3 * x)
  10. - 5: Subtração

Passo 4

Contando as multiplicações:
  • Cada termo com x tem uma multiplicação. São 9 termos com x, então temos 9 multiplicações.
Contando as adições e subtrações:
  • Entre cada termo, temos uma operação de adição ou subtração. Como são 10 termos, temos 9 operações (porque a primeira não precisa somar com nada).

Passo 5

Total de operações:
  • Multiplicações: 9
  • Adições/Subtrações: 9
Agora vamos calcular P9(2) substituindo x por 2 no polinômio.

Passo 6

Substituindo x = 2:
P9(2) = 3(2)^9 + 2(2)^8 - 10(2)^7 + 2(2)^6 - 15(2)^5 - 3(2)^4 + 2(2)^3 - 16(2)^2 + 3(2) - 5
Calculando cada termo:
3(512) + 2(256) - 10(128) + 2(64) - 15(32) - 3(16) + 2(8) - 16(4) + 3(2) - 5
Realizando as multiplicações:
1536 + 512 - 1280 + 128 - 480 - 48 + 16 - 64 + 6 - 5
Agora somando e subtraindo na ordem:
1536 + 512 = 2048 2048 - 1280 = 768 768 + 128 = 896 896 - 480 = 416 416 - 48 = 368 368 + 16 = 384 384 - 64 = 320 320 + 6 = 326 326 - 5 = 321

Resposta

Foram necessárias 9 multiplicações e 9 adições/subtrações para o polinômio. O valor de P9(2) é 321.

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