Responda os itens abaixo:
Seja
utilizando o teorema de Sturm encontre quantas raizes distintas
possui no intervalo
.
Seja
Passo 1
Então, o exercício pede: “Usando o Teorema de Sturm, quantas raízes distintas a equação
possui no intervalo
?”
Matéria: polinômios e Teorema de Sturm.
O que vamos precisar:
Matéria: polinômios e Teorema de Sturm.
O que vamos precisar:
- A derivada do polinômio.
- Fazer divisões sucessivas (o resto com sinal trocado) para montar a sequência de Sturm.
- Avaliar essa sequência em
e em e contar variações de sinal.
Passo 2
O Teorema de Sturm dá um jeito de contar quantas raízes reais distintas um polinômio tem num intervalo, sem precisar achar de fato cada raiz.
- Definimos
- Calculamos a derivada
A ideia é agora dividir
por
, pegar o resto, trocar o sinal e chamar isso de
; depois dividir
por
, trocar o sinal do resto e chamar de
; e assim até chegar num resto constante.
Passo 3
Dividindo
fazemos a divisão polinomial (ou igualamos coeficientes) e encontramos o resto
No Teorema de Sturm, definimos
Passo 4
Agora dividimos
Fazendo a divisão (pode multiplicar por
para facilitar e depois lembrar que escala por constante positiva não muda sinais), obtemos resto constante
Então
Como agora o resto é constante, a sequência de Sturm termina em
.
Em resumo temos a sequência
Passo 5
A contagem de raízes no intervalo
é
onde
é o número de variações de sinal na sequência
.
- Em
:
Sinais:
→ 1 variação de sinal.
- Em
:
Sinais:
→ 1 variação de sinal.
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Resposta
0 raízes distintas no intervalo
.