Responda os itens abaixo:
Seja P3(x)=x^3+x^2-x+1 utilizando o teorema de Sturm encontre quantas raizes distintas P3(x)=0 possui no intervalo 2 <= x <= 3.

Passo 1

Então, o exercício pede: “Usando o Teorema de Sturm, quantas raízes distintas a equação
P3(x)=x^3+x^2-x+1=0
possui no intervalo ?”
Matéria: polinômios e Teorema de Sturm.
O que vamos precisar:
  1. A derivada do polinômio.
  2. Fazer divisões sucessivas (o resto com sinal trocado) para montar a sequência de Sturm.
  3. Avaliar essa sequência em e em e contar variações de sinal.

Passo 2

O Teorema de Sturm dá um jeito de contar quantas raízes reais distintas um polinômio tem num intervalo, sem precisar achar de fato cada raiz.
  1. Definimos
S0(x)=P3(x)=x^3+x^2-x+1,
  1. Calculamos a derivada
S1(x)=P3'(x)=3x^2+2x-1
A ideia é agora dividir por , pegar o resto, trocar o sinal e chamar isso de ; depois dividir por , trocar o sinal do resto e chamar de ; e assim até chegar num resto constante.

Passo 3

Dividindo
S0(x)=x^3+x^2-x+1 por S1(x)=3x^2+2x-1,
fazemos a divisão polinomial (ou igualamos coeficientes) e encontramos o resto
R1(x)=-tfrac89x+tfrac109
No Teorema de Sturm, definimos
S2(x)=-R1(x)=89x-109

Passo 4

Agora dividimos
S1(x)=3x^2+2x-1 por S2(x)=89x-109
Fazendo a divisão (pode multiplicar por R2(x)=9916 para facilitar e depois lembrar que escala por constante positiva não muda sinais), obtemos resto constante
S3(x)=-R2(x)=-9916
Então
S0(x)=x^3+x^2-x+1, S1(x)=3x^2+2x-1, S2(x)=tfrac89x-tfrac109, S3(x)=-tfrac9916
Como agora o resto é constante, a sequência de Sturm termina em .
Em resumo temos a sequência

Passo 5

A contagem de raízes no intervalo V(2)-V(3), é
S0(2)=11>0, S1(2)=15>0, S2(2)=tfrac89cdot2-tfrac109=6/9>0, S3(2)=-tfrac9916<0
onde S0(3)=34>0, S1(3)=32>0, S2(3)=tfrac89cdot3-tfrac109=14/9>0, S3(3)=-tfrac9916<0 é o número de variações de sinal na sequência V(2)-V(3)=1-1=0 .
  1. Em :
Sinais: → 1 variação de sinal.
  1. Em :
Sinais: → 1 variação de sinal.
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Resposta

0 raízes distintas no intervalo .

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