Quantos números de 5 dígitos podemos formar em cada caso abaixo?
O primeiro e o último dígito são iguais.

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos números de 5 dígitos podemos formar tal que o primeiro e o último dígito são iguais?”\n
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • Estamos formando números de 5 dígitos (ou seja, números entre 10000 e 99999).
  • Cada posição do número é um dígito decimal (valores de 0 a 9).
  • Existe a restrição: o primeiro dígito e o último dígito têm de ser iguais.
  • Lembre-se: o primeiro dígito não pode ser 0, pois aí o número deixaria de ser de 5 dígitos.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar o princípio fundamental da contagem (regra do produto). Essa regra diz que, se um processo é composto de etapas sequenciais independentes e a etapa 1 pode ser feita de a maneiras, a etapa 2 de b maneiras, …, então o número total de resultados é a\cdot b \cdot \dots.\n
Aqui é natural modelar a construção do número dígito a dígito: escolher o primeiro dígito, escolher o segundo, terceiro, quarto, e então o quinto (que tem relação com o primeiro). Vamos contar quantas opções cada etapa tem e multiplicar.

Passo 3

Contagem do primeiro dígito (maiscara importante): o primeiro dígito pode ser 1,2,\dots,9 (não pode ser 0). Portanto o número de opções para o primeiro dígito é
9.
Explicação informal: existem 9 dígitos não nulos.

Passo 4

Contagem do último dígito dado o primeiro: a condição do enunciado é que o último dígito seja igual ao primeiro. Logo, depois que eu escolhi o primeiro dígito, o último está fixado — não há escolha adicional. O número de opções para o último dígito, condicionado à escolha do primeiro, é
1.

Passo 5

Contagem dos três dígitos do meio (2º, 3º e 4º dígitos): cada um desses dígitos pode ser qualquer dígito de 0 a 9, sem restrição. Assim cada posição tem 10 opções e, por independência, o total de combinações para as três posições é
10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^{3} = 1000.
Dica prática: pense nas três posições do meio como um número de três dígitos (com zeros à esquerda permitidos), então há 1000 possibilidades ( 000 até 999).

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto: multiplicamos as opções de cada etapa (primeiro dígito) × ( três dígitos do meio ) × (último dígito fixo por igualdade). Ou seja,
9 \cdot 10^{3} \cdot 1.
Fazendo a conta:
9 \cdot 10^{3} = 9 \cdot 1000 = 9000.

Passo 7

Checagem rápida de sanidade (para você ficar tranquilo): existem 90000 números de 5 dígitos no total ( 10000 a 99999). Nossa resposta 9000 corresponde a exatamente 1/10 desse total, o que faz sentido intuitivo — ao fixar o primeiro dígito, a chance de o último coincidir com ele é 1/10. Portanto o resultado é plausível.

Resposta

9000

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