Quantos números de 5 dígitos podemos formar em cada caso abaixo?
O primeiro e o último dígito são iguais.
O primeiro e o último dígito são iguais.
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos números de 5 dígitos podemos formar tal que o primeiro e o último dígito são iguais?”\n
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- Estamos formando números de 5 dígitos (ou seja, números entre
e ). - Cada posição do número é um dígito decimal (valores de
a ). - Existe a restrição: o primeiro dígito e o último dígito têm de ser iguais.
- Lembre-se: o primeiro dígito não pode ser
, pois aí o número deixaria de ser de 5 dígitos.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar o princípio fundamental da contagem (regra do produto). Essa regra diz que, se um processo é composto de etapas sequenciais independentes e a etapa
pode ser feita de
maneiras, a etapa
de
maneiras, …, então o número total de resultados é
.\n
Aqui é natural modelar a construção do número dígito a dígito: escolher o primeiro dígito, escolher o segundo, terceiro, quarto, e então o quinto (que tem relação com o primeiro). Vamos contar quantas opções cada etapa tem e multiplicar.
Aqui é natural modelar a construção do número dígito a dígito: escolher o primeiro dígito, escolher o segundo, terceiro, quarto, e então o quinto (que tem relação com o primeiro). Vamos contar quantas opções cada etapa tem e multiplicar.
Passo 3
Contagem do primeiro dígito (maiscara importante): o primeiro dígito pode ser
(não pode ser
). Portanto o número de opções para o primeiro dígito é
Explicação informal: existem 9 dígitos não nulos.
Passo 4
Contagem do último dígito dado o primeiro: a condição do enunciado é que o último dígito seja igual ao primeiro. Logo, depois que eu escolhi o primeiro dígito, o último está fixado — não há escolha adicional. O número de opções para o último dígito, condicionado à escolha do primeiro, é
Passo 5
Contagem dos três dígitos do meio (2º, 3º e 4º dígitos): cada um desses dígitos pode ser qualquer dígito de
a
, sem restrição. Assim cada posição tem
opções e, por independência, o total de combinações para as três posições é
Dica prática: pense nas três posições do meio como um número de três dígitos (com zeros à esquerda permitidos), então há
possibilidades (
até
).
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto: multiplicamos as opções de cada etapa (primeiro dígito) × ( três dígitos do meio ) × (último dígito fixo por igualdade). Ou seja,
Fazendo a conta:
Passo 7
Checagem rápida de sanidade (para você ficar tranquilo): existem
números de 5 dígitos no total (
a
). Nossa resposta
corresponde a exatamente
desse total, o que faz sentido intuitivo — ao fixar o primeiro dígito, a chance de o último coincidir com ele é
. Portanto o resultado é plausível.