Quantos números podem ser representados no sistema de ponto flutuante F(2,3,-2,2) ?? Listar todos os números que podem ser representados.

Passo 1

Beleza, vamos entender o problema. A pergunta é: no sistema de ponto flutuante

quantos números dá pra representar e quais são eles?
Aqui o conteúdo é ponto flutuante: base , dígitos na mantissa, expoentes de até . A gente vai precisar:
  • Saber como é a forma normalizada de um número em ponto flutuante:
  • Listar todas as mantissas possíveis com 3 bits (o “1.” fixo e 2 bits depois do ponto),
  • Percorrer todos os expoentes de a ,
  • Contar positivos, negativos e lembrar do zero.

Passo 2

Teoria básica: em ponto flutuante normalizado base 2 com pm(1b1b2)times2^e, , todo número (não zero) é escrito como
onde são os dígitos após o ponto e .
Isso garante que o primeiro dígito da mantissa seja sempre 1 (pra tirar representações redundantes).

Passo 3

Vamos achar todas as mantissas possíveis:
  • b1b2 = 00 → mantissa =
  • b1b2 = 01 → mantissa =
  • b1b2 = 10 → mantissa =
  • b1b2 = 11 → mantissa =
Então temos 4 valores de mantissa: .

Passo 4

Agora, pra cada mantissa, vamos multiplicar por 1.0cdot2^-2=0.25, 1.25cdot2^-2=0.3125, 1.5cdot2^-2=0.375, 1.75cdot2^-2=0.4375 com 1.0cdot2^-1=0.5, 1.25cdot2^-1=0.625, 1.5cdot2^-1=0.75, 1.75cdot2^-1=0.875 .
Calculemos a parte positiva (o negativo é só pôr sinal “–”):
e = –2:
1.0cdot2^0=1.0, 1.25cdot2^0=1.25, 1.5cdot2^0=1.5, 1.75cdot2^0=1.75
e = –1:
1.0cdot2^1=2.0, 1.25cdot2^1=2.5, 1.5cdot2^1=3.0, 1.75cdot2^1=3.5
e = 0:
1.0cdot2^2=4.0, 1.25cdot2^2=5.0, 1.5cdot2^2=6.0, 1.75cdot2^2=7.0
e = 1:
e = 2:

Passo 5

Juntando tudo:
  • Valores positivos (20 números):
    0.25, 0.3125, 0.375, 0.4375,
    0.5, 0.625, 0.75, 0.875,
    1.0, 1.25, 1.5, 1.75,
    2.0, 2.5, 3.0, 3.5,
    4.0, 5.0, 6.0, 7.0
  • Valores negativos (20 números), cada um com sinal “–” correspondente.
  • E ainda o zero (que sempre a gente inclui como um caso especial).

Resposta

O total é 41 números:
20 positivos + 20 negativos + 1 zero.
Lista completa (incluindo os negativos e o zero) conforme calculado acima.

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