Quantos e quais são os divisores, respectivamente, dos números a seguir:
1089

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente descobrir quantos divisores o número 1089 tem e, de quebra, listar todos eles. O assunto aqui é “divisores de um número” e a técnica principal é a fatoração prima (quebrar o número em fatores primos) e depois usar uma fórmula para achar quantos divisores ele tem.

Passo 2

Antes de tudo, o que é divisor? Dizemos que um número d é divisor de n se, ao dividir n por d, o resto for zero.
Para facilitar, a gente costuma fazer a fatoração prima: escrever n como produto de potências de números primos. Vamos lá:
  1. Tentamos dividir 1089 por 2: não dá (é ímpar).
  2. Dividimos por 3: 1089 div 3 = 363
  3. Repetimos com 363: 363 div 3 = 121
  4. Agora tentamos dividir 121: descobrimos que é 11times11.
Juntando tudo,
1089 = 3^2 times 11^2

Passo 3

Tem um resultado massa: se um número n tem fatoração
n = p1^atimes p2^btimes cdots,
onde p1,p2,dots são primos, então o número total de divisores de n é
(a+1)times (b+1)times cdots
No nosso caso 1089 = 3^2times 11^2, logo
quantidade de divisores = (2+1)times (2+1) = 3times3 = 9

Passo 4

Para listar esses 9 divisores, basta pegar todas as combinações possíveis de expoentes de 3 e 11, ou seja:
3^a times 11^b, a=0,1,2;; b=0,1,2
Vamos anotar:
  • a=0, b=0: 1
  • a=1, b=0: 3
  • a=2, b=0: 9
  • a=0, b=1: 11
  • a=1, b=1: 33
  • a=2, b=1: 99
  • a=0, b=2: 121
  • a=1, b=2: 363
  • a=2, b=2: 1089

Resposta

Os divisores de 1089 são, em ordem crescente:
1,,3,,9,,11,,33,,99,,121,,363,,1089
No total, são 9 divisores.

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