Quantos e quais são os divisores, respectivamente, dos números a seguir:
4116

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente achar quantos e quais são os divisores de 4116. Isso é assunto de teoria dos números, mais especificamente de fatoração e contagem/listagem de divisores.
O que precisaremos:
  • Fazer a fatoração prima do número 4116.
  • Usar a fórmula de contagem de divisores a partir dos expoentes na fatoração.
  • Listar todos os divisores gerando todas as combinações dos fatores primos.

Passo 2

Vamos começar fatorando 4116 em primos.
  1. Como 4116 é par, divido por 2:
4116 = 2 times 2058
  1. 2058 também é par, então mais uma divisão por 2:
2058 = 2 times 1029
Até aqui temos 1029 div 3 = 343, .
3) Agora fatoramos 1029. Ele não é par, teste com 3:
4116 = 2^2 times 3^1 times 7^3
logo .
4) E 343 é bem conhecido como .
Juntando tudo:

Passo 3

Teoria pra contar divisores: se
n = p1^alpha1,p2^alpha2cdots pk^alphak,
o número de divisores de (alpha1+1),(alpha2+1)cdots(alphak+1) é
nº de divisores = (2+1)times(1+1)times(3+1) = 3times2times4 = 24
No nosso caso, (para o 2), (para o 3) e (para o 7).
Então
º

Passo 4

Pra listar todos, geramos todas as combinações
2^a,3^b,7^c com 0<= a<=2,;0<= b<=1,;0<= c<=3
Fazendo isso direitinho, a lista ordenada fica:
1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 49,
84, 98, 147, 196, 294, 343, 588, 686, 1029, 1372, 2058, 4116.

Resposta

Quantidade de divisores: 24
Divisores: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 49, 84, 98, 147, 196, 294, 343, 588, 686, 1029, 1372, 2058, 4116.

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