Quantos e quais são os divisores, respectivamente, dos números a seguir:
440
440
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente descobrir quantos divisores o número 440 tem e quais são eles. Isso é conteúdo de “divisores de um número inteiro” e “fatoração em primos” + uma pitadinha de combinatória simples (a famosa fórmula do número de divisores). Para resolver, a gente vai:
- Fatorar o 440 em fatores primos.
- Usar a fórmula que diz quantos divisores um número tem a partir da fatoração.
- Listar todas as combinações de fatores para achar cada divisor.
Passo 2
Primeiro a gente fatora o 440 em números primos.
– Dividindo por 2 (o menor primo):
440 ÷ 2 = 220
– De novo por 2:
220 ÷ 2 = 110
– De novo por 2:
110 ÷ 2 = 55
Agora 55 não é mais divisível por 2, vamos pro próximo primo, que é 3 (mas 55 ÷ 3 não dá inteiro), então testamos 5:
– 55 ÷ 5 = 11
E 11 é primo. Logo, a fatoração é
– Dividindo por 2 (o menor primo):
440 ÷ 2 = 220
– De novo por 2:
220 ÷ 2 = 110
– De novo por 2:
110 ÷ 2 = 55
Agora 55 não é mais divisível por 2, vamos pro próximo primo, que é 3 (mas 55 ÷ 3 não dá inteiro), então testamos 5:
– 55 ÷ 5 = 11
E 11 é primo. Logo, a fatoração é
Passo 3
Pra contar quantos divisores um número tem, usamos a fórmula:
Se , então o número de divisores de
é
Se
Aqui
,
,
, então
Isso quer dizer que o 440 tem 16 divisores.
Passo 4
Agora vamos listar todos, usando as potências de cada primo. Um divisor genérico vale
onde
;
;
.
Basta combinar:
i=0:
i=1:
i=2:
i=3:
Basta combinar:
i=0:
i=1:
i=2:
i=3:
Resposta
O número 440 tem 16 divisores, que são, em ordem crescente: