Usando quatro casas decimais, aproxime integral0,1^2,1 x^x d x pela quadratura de GaussLegendre com quatro pontos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de $ x^{x} $ de 0,1 até 2,1 usando a quadratura de Gauss-Legendre com quatro pontos. Isso envolve um pouco de cálculo integral e métodos numéricos, então vamos precisar entender como a quadratura de Gauss funciona e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a quadratura de Gauss-Legendre. É um método de integração numérica que aproxima o valor de integrais definidas, ou seja, integrais com limites específicos. A ideia é escolher pontos e pesos especiais que fazem essa aproximação ser muito precisa com apenas alguns pontos, no caso, quatro pontos para esse exercício.

Passo 3

A quadratura de Gauss-Legendre padrão é definida no intervalo de -1 a 1. Mas nosso intervalo de integração é de 0,1 a 2,1. Então, precisamos fazer uma mudança de variável para transformar nosso intervalo para o padrão (-1, 1). Vamos chamar de $ t $ a nova variável.
A transformação é dada por:
t
onde $ a = 0,1 $ e $ b = 2,1 $.

Passo 4

Vamos calcular os valores da transformação:
b - a2 = 2,1 - 0,12 = 1,0
a + b2 = 0,1 + 2,12 = 1,1
Então, temos:
x = 1,0 cdot t + 1,1 = t + 1,1
E o diferencial $ dx = \frac{b - a}{2} dt = 1,0 \cdot dt = dt $

Passo 5

Agora, a integral original fica:
integral0,1^2,1 x^x dx = integral-1^1 (t + 1,1)^(t + 1,1) cdot 1,0 , dt
Então, precisamos aplicar a quadratura de Gauss-Legendre nesse novo intervalo de -1 a 1.

Passo 6

Para a quadratura de Gauss-Legendre de quatro pontos, temos os seguintes nós ($ t_i ti w_i $):
wi

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula da quadratura:
integral-1^1 f(t) dt approx sumi=1^4 wi cdot f(ti)
No nosso caso, $ f(t) = (t + 1,1)^{(t + 1,1)} $.
Vamos calcular cada termo:
f(t) = (t + 1,1)^(t + 1,1)

Passo 8

Vamos calcular cada $ f(t_i) $:
f(ti)

Passo 9

Agora, multiplicamos cada $ f(t_i) $ pelo respectivo peso $ w_i $:
f(ti)

Passo 10

Somamos todos os termos calculados:
0,2759 + 0,5380 + 1,0911 + 1,2710 approx 3,1760

Resposta

A aproximação da integral $ \int_{0,1}^{2,1} x^{x} dx $ usando a quadratura de Gauss-Legendre com quatro pontos é aproximadamente 3,1760.

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