Usando quatro casas decimais, aproxime
pela quadratura de GaussLegendre com quatro pontos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de $ x^{x} $ de 0,1 até 2,1 usando a quadratura de Gauss-Legendre com quatro pontos. Isso envolve um pouco de cálculo integral e métodos numéricos, então vamos precisar entender como a quadratura de Gauss funciona e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a quadratura de Gauss-Legendre. É um método de integração numérica que aproxima o valor de integrais definidas, ou seja, integrais com limites específicos. A ideia é escolher pontos e pesos especiais que fazem essa aproximação ser muito precisa com apenas alguns pontos, no caso, quatro pontos para esse exercício.
Passo 3
A quadratura de Gauss-Legendre padrão é definida no intervalo de -1 a 1. Mas nosso intervalo de integração é de 0,1 a 2,1. Então, precisamos fazer uma mudança de variável para transformar nosso intervalo para o padrão (-1, 1). Vamos chamar de $ t $ a nova variável.
A transformação é dada por:
onde $ a = 0,1 $ e $ b = 2,1 $.
Passo 4
Vamos calcular os valores da transformação:
Então, temos:
E o diferencial $ dx = \frac{b - a}{2} dt = 1,0 \cdot dt = dt $
Passo 5
Agora, a integral original fica:
Então, precisamos aplicar a quadratura de Gauss-Legendre nesse novo intervalo de -1 a 1.
Passo 6
Para a quadratura de Gauss-Legendre de quatro pontos, temos os seguintes nós ($ t_i
w_i $):
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula da quadratura:
No nosso caso, $ f(t) = (t + 1,1)^{(t + 1,1)} $.
Vamos calcular cada termo:
Passo 8
Vamos calcular cada $ f(t_i) $:
Passo 9
Agora, multiplicamos cada $ f(t_i) $ pelo respectivo peso $ w_i $:
Passo 10
Somamos todos os termos calculados:
Resposta
A aproximação da integral $ \int_{0,1}^{2,1} x^{x} dx $ usando a quadratura de Gauss-Legendre com quatro pontos é aproximadamente 3,1760.