© Queremos calcular
com erro inferior a
. Temos que as duas primeiras derivadas da função
são
Observe que essas derivadas não estão definidas no ponto
e não são limitadas no intervalo
, de modo que não podemos utilizar a fórmula do erro diretamente para estimar o valor de
necessário. Utilizando as simetrias do círculo, determine uma constante positiva
tal que
e estime o valor necessário de
para calcular a integral
pelo método dos
-trapézios com erro inferior a
.
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é a gente querer aproximar
com erro menor que . O pontinho complicado é que as derivadas de
“explodem” perto de
, então não dá pra usar direto a fórmula de erro do trapézio em
.
Conteúdo envolvido: integração de funções básicas (área do quarto de círculo), simetrias geométricas, regra do trapézio e estimativa de erro via a segunda derivada. Vamos precisar:
com erro menor que
Conteúdo envolvido: integração de funções básicas (área do quarto de círculo), simetrias geométricas, regra do trapézio e estimativa de erro via a segunda derivada. Vamos precisar:
- Conhecer a área de um quarto de círculo e usar a linha
pra criar uma identidade com uma “pequena correção” . - Estimar
num intervalo onde seja limitada (aqui [0,√2/2]). - Aplicar o teorema do erro do trapézio:
Passo 2
A gente usa simetria do quarto de círculo e a reta
.
- A área sob
de a é . - Se traçar a reta
, o pedaço de baixo ( até ) mais o de cima ( até 1) são quase iguais, exceto um quadrado de lado . - A área desse quadrado é
.
Isso dá a fórmula
- A área desse quadrado é
Logo
.
Passo 3
Agora vamos aproximar
pelo trapézio com passo .
Para o erro, precisamos de
pelo trapézio com passo
Para o erro, precisamos de
em
.
Calculemos o máximo em :
Calculemos o máximo em
então
.
Passo 4
Fórmula do erro do trapézio:
Logo
Queremos esse erro
.
Então
Então
Escolhendo
já garante o erro pedido.
Resposta
Usando a simetria,
.
Para aproximar com erro
pelo método dos
-trapézios, basta tomar
.
Para aproximar