© Queremos calcular pi com erro inferior a 10^-3. Temos que as duas primeiras derivadas da função f(x)=raiz1-x^2 são
f^prime(x)=-xraiz1-x^2 e f^prime prime(x)=1raiz1-x^2-3 x^2(raiz1-x^2)^5 / 2
Observe que essas derivadas não estão definidas no ponto x=1 e não são limitadas no intervalo [0,1[, de modo que não podemos utilizar a fórmula do erro diretamente para estimar o valor de n necessário. Utilizando as simetrias do círculo, determine uma constante positiva C tal que
integral0^1 raiz1-x^2 d x=2 integral0^raiz22 raiz1-x^2 d x-C
e estime o valor necessário de n para calcular a integral integral0^raiz22 raiz1-x^2 d x pelo método dos n-trapézios com erro inferior a 10^-32.

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é a gente querer aproximar
|ET|<=(b-a)^312,n^2,max[a,b]|f''(x)|
com erro menor que . O pontinho complicado é que as derivadas de
“explodem” perto de , então não dá pra usar direto a fórmula de erro do trapézio em .
Conteúdo envolvido: integração de funções básicas (área do quarto de círculo), simetrias geométricas, regra do trapézio e estimativa de erro via a segunda derivada. Vamos precisar:
  • Conhecer a área de um quarto de círculo e usar a linha pra criar uma identidade com uma “pequena correção” .
  • Estimar num intervalo onde seja limitada (aqui [0,√2/2]).
  • Aplicar o teorema do erro do trapézio:

Passo 2

A gente usa simetria do quarto de círculo e a reta integral0^1raiz1-x^2,dx =2integral0^raiz22raiz1-x^2,dx -12 .
  • A área sob de a é .
  • Se traçar a reta , o pedaço de baixo ( até ) mais o de cima ( até 1) são quase iguais, exceto um quadrado de lado .
    • A área desse quadrado é .
      Isso dá a fórmula
Logo .

Passo 3

Agora vamos aproximar
f''(x)=1raiz1-x^2-3,x^2(1-x^2)^5/2
pelo trapézio com passo f''l(tfracraiz22r) =2raiz2-3cdot1/2(raiz2/2)^5 =raiz2-6raiz2 =-5raiz2, .
Para o erro, precisamos de
em .
Calculemos o máximo em :
então .

Passo 4

Fórmula do erro do trapézio:
|ET|<=(b-a)^312,n^2,M onde M=5raiz2,;b-a=raiz22
Logo
|ET|<=l(raiz22r)^312,n^2,5raiz2 =raiz2/412,n^2,5raiz2 =5cdot248,n^2 =524,n^2
Queremos esse erro 524,n^2<5cdot10^-4 Longrightarrow 124,n^2<10^-4 Longrightarrow n^2>10^424approx416,7 Longrightarrow n>20,4 .
Então
Escolhendo já garante o erro pedido.

Resposta

Usando a simetria, .
Para aproximar com erro pelo método dos -trapézios, basta tomar .

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