Questão 01

(2,5 pontos) Utilize o método NR para encontrar a raíz da função f(x)=cos ^-1(x2)-x.
Solução

Passo 1

Beleza, a questão pede para encontrarmos a raiz da função
f(x)=arccos!l(tfracx2r)-x
usando o método de Newton–Raphson.
Conteúdo: Newton–Raphson (iterações) e derivada de .
Precisamos de:
  1. a fórmula de iteração ,
  2. calcular ,
  3. escolher um palpite inicial e iterar até convergir.

Passo 2

O método de Newton–Raphson diz que, a cada iteração,
xn+1 ;=; xn ;-;f(xn)f'(xn)
Isso nos aproxima rapidamente da raiz, desde que .

Passo 3

Vamos achar f'(x) =;-tfrac12raiz1-(x/2)^2;-;1 ;=;-12raiz1-tfracx^24;-;1 .
Dado ,
a derivada de é .
Aqui , então .
Logo

Passo 4

Escolhemos um chute inicial f(1)=arccos!l(0.5r)-1 =tfracpi3-1approx1.0472-1=0.0472, (está no domínio f'(1)=-12raiz1-0.25-1 =-12cdot0.8660-1approx-0.57735-1=-1.57735 e parece razoável).
Calculamos:
x1 =1-0.0472-1.57735 approx1+0.0299 =1.0299
Então

Passo 5

Agora iteramos de novo em f(1.0299)=arccos!l(0.51495r)-1.0299approx1.0294-1.0299=-0.0005, :
f'(1.0299) =-12raiz1-(1.0299/2)^2-1 approx-1.5827
x2 =1.0299--0.0005-1.5827 approx1.0299-0.0003 =1.0296
Logo
Isso já está estabilizado (erro na casa dos ).

Resposta

A raiz aproximada é
boxedxapprox1.0296

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