Questão 02

( 2,5 pontos) Utilize o método do meio intervalo para determinar o número n de iterações necessárias para calcular com precisão de 10^-2 as raizes da função f(x)=e^x-sin x. Após, comprove o valor de n encontrado.

Solução

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente use o método do ponto médio (ou “meio intervalo”, que é o método da bissecção) pra achar quantas iterações são necessárias pra aproximar a raiz de
f(x) = e^x - sin x
com precisão de erro <= b-a2^n, .
O conteúdo envolvido é o método da bissecção e, em especial, a fórmula do erro máximo após iterações:
Pra resolver, precisaremos:
  1. Escolher um intervalo em que .
  2. Usar a desigualdade acima pra achar .
  3. Conferir que isso mesmo garante o erro .

Passo 2

Primeiro, a gente precisa achar um intervalo onde a função mude de sinal. Vamos testar valores:
  • Em f(-3)=e^-3-sin(-3)=0.0498 -(-0.1411)approx0.1909>0 : f(-3.5)=e^-3.5-sin(-3.5)approx0.0302 - (0.342)approx -0.312<0
  • Em :
Então em a função muda de sinal e podemos aplicar a bissecção aí.

Passo 3

No método da bissecção temos o erro máximo após b-a2^n<= tol iterações dado por
0.52^n<= 10^-2 Longrightarrow 2^n >= 0.50.01 = 50 Longrightarrow n >= log2(50)approx5.64
Aqui e queremos . Logo
Como tem que ser inteiro, pegamos .

Passo 4

Só pra confirmar: com 0.52^6 = 0.564 approx 0.0078 < 0.01, temos
0.52^5 = 0.532 approx 0.0156 > 0.01,
ou seja, dá realmente pra garantir a precisão . Se tentássemos , daria
que ainda não é suficiente.

Resposta

São necessárias iterações.

Exercícios relacionados