Questão 02
( 2,5 pontos) Utilize o método do meio intervalo para determinar o número
de iterações necessárias para calcular com precisão de
as raizes da função
. Após, comprove o valor de
encontrado.
Solução
Passo 1
Beleza, o enunciado quer que a gente use o método do ponto médio (ou “meio intervalo”, que é o método da bissecção) pra achar quantas iterações são necessárias pra aproximar a raiz de
com precisão de
.
O conteúdo envolvido é o método da bissecção e, em especial, a fórmula do erro máximo após iterações:
O conteúdo envolvido é o método da bissecção e, em especial, a fórmula do erro máximo após
Pra resolver, precisaremos:
- Escolher um intervalo
em que . - Usar a desigualdade acima pra achar
. - Conferir que isso mesmo garante o erro
.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa achar um intervalo onde a função mude de sinal. Vamos testar valores:
- Em
: - Em
:
Então em
a função muda de sinal e podemos aplicar a bissecção aí.
Passo 3
No método da bissecção temos o erro máximo após
iterações dado por
Aqui
e queremos
. Logo
Como
tem que ser inteiro, pegamos
.
Passo 4
Só pra confirmar: com
temos
ou seja, dá realmente pra garantir a precisão
. Se tentássemos
, daria
que ainda não é suficiente.
Resposta
São necessárias
iterações.