Questão 02 ( 3 pontos): Considere a seguinte Problema de Valor Inicial
l y^prime=y x^2-y y(0)=1
para o qual buscamos uma sofuçāo numérica aproximada no intervalo x in[a, b]=[0,1] usando 4 subintervalos.
a) Obtenha esea soluçato aproximada atraves do Metodo de Euler.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo. A gente tem uma equação diferencial inicial:
l y^prime=y x^2-y y(0)=1
O objetivo é encontrar uma solução aproximada usando o Método de Euler no intervalo de $ x $ de 0 a 1, dividindo esse intervalo em 4 subintervalos. Para isso, vamos precisar entender como o Método de Euler funciona, que basicamente nos ajuda a aproximar soluções de equações diferenciais usando passos pequenos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tamanho de cada subintervalo. O intervalo total é de 0 a 1 e vamos dividir em 4 partes iguais. Então, o passo ($ h $) é:
h

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Método de Euler. A ideia é usar a fórmula:
yk+1 = yk + h cdot f(xk, yk)
Onde:
  • $ y_k $ é o valor atual da função.
  • $ h $ é o passo que acabamos de calcular (0.25).
  • $ f(x_k, y_k) $ é a derivada $ y’ $ avaliada em $ (x_k, y_k) $.
No nosso caso, $ f(x, y) = y x^{2} - y $.

Passo 4

Vamos começar com o ponto inicial $ (x_0, y_0) = (0, 1) $.
Passo 1: $ k = 0 $
(x0, y0) = (0, 1)
Então,
k = 0
Passo 2: $ k = 1 $, $ x_1 = 0.25 $, $ y_1 = 0.75 $
f(x0, y0) = y0 cdot x0^2 - y0 = 1 cdot 0^2 - 1 = -1
Então,
y1 = y0 + h cdot f(x0, y0) = 1 + 0.25 cdot (-1) = 0.75
Passo 3: $ k = 2 $, $ x_2 = 0.5 $, $ y_2 = 0.57421875 $
k = 1
Então,
x1 = 0.25
Passo 4: $ k = 3 $, $ x_3 = 0.75 $, $ y_3 = 0.466552734375 $
y1 = 0.75
Então,
f(x1, y1) = 0.75 cdot (0.25)^2 - 0.75 = 0.75 cdot 0.0625 - 0.75 = 0.046875 - 0.75 = -0.703125

Resposta

A solução aproximada da equação diferencial pelo Método de Euler no intervalo [0, 1] com 4 subintervalos é $ y(1) \approx 0.4156 $.

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