Questão 02 ( 3 pontos): Considere a seguinte Problema de Valor Inicial
para o qual buscamos uma sofuçāo numérica aproximada no intervalo
usando 4 subintervalos.
a) Obtenha esea soluçato aproximada atraves do Metodo de Euler.
a) Obtenha esea soluçato aproximada atraves do Metodo de Euler.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema passo a passo. A gente tem uma equação diferencial inicial:
O objetivo é encontrar uma solução aproximada usando o Método de Euler no intervalo de $ x $ de 0 a 1, dividindo esse intervalo em 4 subintervalos. Para isso, vamos precisar entender como o Método de Euler funciona, que basicamente nos ajuda a aproximar soluções de equações diferenciais usando passos pequenos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o tamanho de cada subintervalo. O intervalo total é de 0 a 1 e vamos dividir em 4 partes iguais. Então, o passo ($ h $) é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Método de Euler. A ideia é usar a fórmula:
Onde:
- $ y_k $ é o valor atual da função.
- $ h $ é o passo que acabamos de calcular (0.25).
- $ f(x_k, y_k) $ é a derivada $ y’ $ avaliada em $ (x_k, y_k) $.
No nosso caso, $ f(x, y) = y x^{2} - y $.
Passo 4
Vamos começar com o ponto inicial $ (x_0, y_0) = (0, 1) $.
Passo 1: $ k = 0 $
Então,
Passo 2: $ k = 1 $, $ x_1 = 0.25 $, $ y_1 = 0.75 $
Então,
Passo 3: $ k = 2 $, $ x_2 = 0.5 $, $ y_2 = 0.57421875 $
Então,
Passo 4: $ k = 3 $, $ x_3 = 0.75 $, $ y_3 = 0.466552734375 $
Então,
Resposta
A solução aproximada da equação diferencial pelo Método de Euler no intervalo
com 4 subintervalos é $ y(1) \approx 0.4156 $.