A tabela abaixo indica queda de temperatura f(x) de um freezer em função do tempo x, após a entrada de uma massa de ar quente. Determine a temperatura no instante 2,58 s por meio de interpolação polinomial.
Instante X[s] 1 4 6
Temperatura f(x)[ ^0 C] 12 5 1

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos a queda de temperatura (1,12),(4,5),(6,1) num freezer em três instantes:
E a gente quer achar usando interpolação polinomial. Isso faz parte de Métodos Numéricos, mais especificamente do polinômio interpolador de Lagrange. Para resolver, vamos precisar montar esse polinômio de grau 2 (porque são 3 pontos) e avaliar em .

Passo 2

Teoria rápida: o polinômio de Lagrange de grau 2 que passa pelos pontos P(x)=sumi=0^2 yi,Li(x) é
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^2x-xjxi-xj
onde cada base x0=1,;y0=12; x1=4,;y1=5; x2=6,;y2=1 é
No nosso caso:

Passo 3

Vamos achar cada L0(x)=(x-4)(x-6)(1-4)(1-6) =(x-4)(x-6)(-3)(-5) =(x-4)(x-6)15, :
L1(x)=(x-1)(x-6)(4-1)(4-6) =(x-1)(x-6)3cdot(-2) =-(x-1)(x-6)6,
L2(x)=(x-1)(x-4)(6-1)(6-4) =(x-1)(x-4)5cdot2 =(x-1)(x-4)10

Passo 4

Agora, avaliamos tudo em L0(2.58)=(2.58-4)(2.58-6)15 =(-1.42)(-3.42)15approx0.32376, :
L1(2.58)=-(2.58-1)(2.58-6)6 =-(1.58)(-3.42)6approx0.90060,
L2(2.58)=(2.58-1)(2.58-4)10 =(1.58)(-1.42)10approx-0.22436
f(2.58)=12cdot L0(2.58)+5cdot L1(2.58)+1cdot L2(2.58) approx12(0.32376)+5(0.90060)+(-0.22436)
E o valor interpolado é
12cdot0.32376approx3.88512, 5cdot0.90060approx4.50300, então f(2.58)approx3.88512+4.50300-0.22436
Calculando:
ã

Resposta

A temperatura no instante boxed8,16 ^circC é aproximadamente

Exercícios relacionados