Obter a parábola dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos.
x
-1
0
1
2
3
y
3
1
0
1
2
Obter uma estimativa para \mathrm{x}=0.5.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
Pede: encontrar a parábola dos mínimos quadrados que melhor ajusta os pontos dados e, com essa parábola, estimar o valor de y em x=0{,}5.
Dados (pegos da tabela do enunciado):
Pontos (x,y): (-1,3), (0,1), (1,0), (2,1), (3,2).
Vou ajustar uma parábola do tipo y = ax^{2} + bx + c. O objetivo é encontrar os coeficientes a, b e c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.
Passo 2
Conceito e fórmula dos mínimos quadrados para ajuste polinomial (aula rápida).
Queremos minimizar a soma dos quadrados dos erros:S(a,b,c)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_{i} - (a x_{i}^{2}+ b x_{i}+ c)\bigr)^{2},onde (x_{i},y_{i})\) são os pontos amostrais e \(n\) é o número de pontos.
- Condição de mínimo: derivar \(S\) em relação a \(a\), \(b\) e \(c\) e igualar a zero. Isso gera o sistema normal:
\[\begin{cases} \displaystyle \sum y_{i} = a\sum x_{i}^{2} + b\sum x_{i} + c\,n,\\[6pt] \displaystyle \sum x_{i}y_{i} = a\sum x_{i}^{3} + b\sum x_{i}^{2} + c\sum x_{i},\\[6pt] \displaystyle \sum x_{i}^{2}y_{i} = a\sum x_{i}^{4} + b\sum x_{i}^{3} + c\sum x_{i}^{2}. \end{cases}
Aqui cada \sum\] é somatório sobre todos os pontos \(i=1,\dots,n. Vou calcular essas somas com nossos pontos.]
Passo 3
Calcular as somas necessárias (passo a passo, sem pular etapas).
Listo os pontos e calculo potências e produtos:
Para x=-1, y=3: x^{2}=1, x^{3}=-1, x^{4}=1, x y = -3, x^{2}y = 3.
Para x=0, y=1: x^{2}=0, x^{3}=0, x^{4}=0, x y = 0, x^{2}y = 0.
Para x=1, y=0: x^{2}=1, x^{3}=1, x^{4}=1, x y = 0, x^{2}y = 0.
Para x=2, y=1: x^{2}=4, x^{3}=8, x^{4}=16, x y = 2, x^{2}y = 4.
Para x=3, y=2: x^{2}=9, x^{3}=27, x^{4}=81, x y = 6, x^{2}y = 18.