1. Obter a parábola dos mínimos quadrados que melhor se ajusta aos pontos.
x -1 0 1 2 3
y 3 1 0 1 2
Obter uma estimativa para \mathrm{x}=0.5.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pede: encontrar a parábola dos mínimos quadrados que melhor ajusta os pontos dados e, com essa parábola, estimar o valor de y em x=0{,}5.
  • Dados (pegos da tabela do enunciado):
    • Pontos (x,y): (-1,3), (0,1), (1,0), (2,1), (3,2).
  • Vou ajustar uma parábola do tipo y = ax^{2} + bx + c. O objetivo é encontrar os coeficientes a, b e c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos.

Passo 2

Conceito e fórmula dos mínimos quadrados para ajuste polinomial (aula rápida).
  • Queremos minimizar a soma dos quadrados dos erros: S(a,b,c)=\sum_{i=1}^{n}\bigl(y_{i} - (a x_{i}^{2}+ b x_{i}+ c)\bigr)^{2},onde (x_{i},y_{i})\) são os pontos amostrais e \(n\) é o número de pontos. - Condição de mínimo: derivar \(S\) em relação a \(a\), \(b\) e \(c\) e igualar a zero. Isso gera o sistema normal: \[\begin{cases} \displaystyle \sum y_{i} = a\sum x_{i}^{2} + b\sum x_{i} + c\,n,\\[6pt] \displaystyle \sum x_{i}y_{i} = a\sum x_{i}^{3} + b\sum x_{i}^{2} + c\sum x_{i},\\[6pt] \displaystyle \sum x_{i}^{2}y_{i} = a\sum x_{i}^{4} + b\sum x_{i}^{3} + c\sum x_{i}^{2}. \end{cases}
  • Aqui cada \sum\] é somatório sobre todos os pontos \(i=1,\dots,n. Vou calcular essas somas com nossos pontos.]

Passo 3

Calcular as somas necessárias (passo a passo, sem pular etapas).
Listo os pontos e calculo potências e produtos:
  • Para x=-1, y=3: x^{2}=1, x^{3}=-1, x^{4}=1, x y = -3, x^{2}y = 3.
  • Para x=0, y=1: x^{2}=0, x^{3}=0, x^{4}=0, x y = 0, x^{2}y = 0.
  • Para x=1, y=0: x^{2}=1, x^{3}=1, x^{4}=1, x y = 0, x^{2}y = 0.
  • Para x=2, y=1: x^{2}=4, x^{3}=8, x^{4}=16, x y = 2, x^{2}y = 4.
  • Para x=3, y=2: x^{2}=9, x^{3}=27, x^{4}=81, x y = 6, x^{2}y = 18.
Agora somo coluna a coluna:
\begin{aligned} n &= 5,\\[4pt] \sum x &= -1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5,\\[4pt] \sum x^{2} &= 1 + 0 + 1 + 4 + 9 = 15,\\[4pt] \sum x^{3} &= -1 + 0 + 1 + 8 + 27 = 35,\\[4pt] \sum x^{4} &= 1 + 0 + 1 + 16 + 81 = 99,\\[4pt] \sum y &= 3 + 1 + 0 + 1 + 2 = 7,\\[4pt] \sum x y &= -3 + 0 + 0 + 2 + 6 = 5,\\[4pt] \sum x^{2} y &= 3 + 0 + 0 + 4 + 18 = 25. \end{aligned}]

Passo 4

Escrever o sistema normal com os valores das somas.
Usando as fórmulas do Passo 2, obtemos:
\begin{cases} 7 = a\cdot 15 + b\cdot 5 + c\cdot 5,\\[6pt] 5 = a\cdot 35 + b\cdot 15 + c\cdot 5,\\[6pt] 25 = a\cdot 99 + b\cdot 35 + c\cdot 15. \end{cases}
Para facilitar, escrevo novamente:
\begin{aligned} 15a + 5b + 5c &= 7, \quad\text{(E1)}\\[4pt] 35a +15b + 5c &= 5, \quad\text{(E2)}\\[4pt] 99a +35b +15c &=25. \quad\text{(E3)} \end{aligned}]

Passo 5

Resolver o sistema normal por eliminação (detalhando cada passo algébrico).
Primeiro elimino c\) subtraindo E1 de E2: \[\text{E2} - \text{E1}:\quad (35-15)a + (15-5)b + (5-5)c = 5-7,
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20a + 10b = -2.
Dividindo por 2:
10a + 5b = -1. \quad\text{(A)}
Agora elimino c usando E3 e 3 vezes E1:
3\cdot\text{E1}: \; 45a +15b +15c =21.
\text{E3} - 3\cdot\text{E1}:\quad (99-45)a + (35-15)b + (15-15)c = 25-21,
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54a + 20b = 4.
Dividindo por 2:
27a + 10b = 2. \quad\text{(B)}
Agora resolvo o sistema em a,b formado por (A) e (B):
\begin{cases} 10a + 5b = -1,\\[4pt] 27a +10b = 2. \end{cases}
Multiplico (A) por 2\] para igualar o coeficiente de \(b:
20a + 10b = -2.
Subtraio desta a equação (B):
(27a+10b) - (20a+10b) = 2 - (-2),
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7a = 4 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{4}{7}.
Volto em (A) para achar b:
10\left(\frac{4}{7}\right) + 5b = -1 \quad\Rightarrow\quad \frac{40}{7} + 5b = -1.
5b = -1 - \frac{40}{7} = -\frac{7}{7} - \frac{40}{7} = -\frac{47}{7}.
b = -\frac{47}{35}.
Finalmente encontro c usando E1:
15a + 5b + 5c = 7 \quad\Rightarrow\quad 5c = 7 - 15a - 5b.
Substituindo a e b:
15\cdot\frac{4}{7} = \frac{60}{7},\qquad 5b = 5\cdot\left(-\frac{47}{35}\right) = -\frac{47}{7}.
5c = 7 - \frac{60}{7} - \left(-\frac{47}{7}\right) = 7 - \frac{60}{7} + \frac{47}{7}.
7 = \frac{49}{7},\quad \frac{49}{7} - \frac{60}{7} + \frac{47}{7} = \frac{36}{7}.
5c = \frac{36}{7} \quad\Rightarrow\quad c = \frac{36}{35}.
Portanto os coeficientes são:
a = \frac{4}{7},\qquad b = -\frac{47}{35},\qquad c = \frac{36}{35}.]

Passo 6

Escrever a parábola encontrada e explicar como usá-la para estimar.
  • A parábola de mínimos quadrados é
y = a x^{2} + b x + c = \frac{4}{7}x^{2} - \frac{47}{35}x + \frac{36}{35}.
  • Para estimar o valor de y em qualquer x, basta substituir esse x na expressão acima.

Passo 7

Calcular a estimativa para x=0{,}5 (contas detalhadas, sem pular etapas).
Substituo x=0{,}5:
y(0{,}5)=\frac{4}{7}\cdot(0{,}5)^{2} - \frac{47}{35}\cdot(0{,}5) + \frac{36}{35}.
Calculo cada termo:
(0{,}5)^{2}=0{,}25,\qquad \frac{4}{7}\cdot 0{,}25 = \frac{1}{7}.
-\frac{47}{35}\cdot 0{,}5 = -\frac{47}{70}.
\frac{36}{35} = \frac{72}{70}.
Agora somo com denominador comum 70:
\frac{1}{7} = \frac{10}{70},\quad -\frac{47}{70},\quad \frac{72}{70}.
y(0{,}5)=\frac{10}{70} - \frac{47}{70} + \frac{72}{70} = \frac{35}{70} = \frac{1}{2}.
Surpresa simpática: o resultado é exatamente \tfrac{1}{2}.

Resposta

y = \dfrac{4}{7}x^{2} - \dfrac{47}{35}x + \dfrac{36}{35}\n
y(0{,}5)=\dfrac{1}{2}

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