Questão 10 (RUGGIERO, 1998 - questão 7.3 pág. 235) Utilize a fórmula das diferenças finitas regressivas para estimar a derivada de F(x)=ln (x^wed>= 2+1) no ponto x=1.5 considerando h=0.1 e h=0.05

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente estimar a derivada de
F(x)=lnl(x^2+1r)
no ponto F'(x)approxF(x)-F(x-h)h usando a fórmula de diferenças finitas regressivas (ou “backward difference”) com dois tamanhos de passo: e .
Conteúdo: numérico de cálculo — aproximação de derivada por diferença finita.
O que precisamos:
  1. Saber a fórmula:
  2. Calcular , para cada .

Passo 2

Aplicando para F(1,4)=lnl(1,4^2+1r)=ln(1,96+1)=ln(2,96) :
  1. Primeiro, F'(1,5)approxF(1,5)-F(1,4)0,1 =ln(3,25)-ln(2,96)0,1 .
  2. Depois, F'(1,5)approx1,178655 - 1,0849030,1 =0,0937520,1approx0,93752 , então
  3. Agora a fórmula:
  4. Numericamente, e .

Passo 3

Agora para F(1,45)=lnl(1,45^2+1r)=ln(2,1025+1)=ln(3,1025) :
  1. F'(1,5)approxF(1,5)-F(1,45)0,05 =ln(3,25)-ln(3,1025)0,05 =1,178655 - 1,1314020,05 =0,0472530,05approx0,94506 , então
  2. .
  3. Aplique:

Passo 4

Teoria rápida: a diferença finita regressiva tem erro da ordem de , ou seja, quanto menor , em princípio, mais perto do valor exato (desde que não role erro de arredondamento). Daí a leve mudança quando diminuímos de pra .

Resposta

Para :
Para :

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