Questão 7 -( - questão 6.4 pág. 202) Utilize a regra de Simpson 1 / 3 composta para calcular a integral abaixo com n=4.
I=integral0^1 e^-x^2 dx
Compare o resultado com o valor exato.

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente aproximar a integral
I = integral0^1 e^-x^2,dx
usando a regra de Simpson 1/3 composta com .
Conteúdo: métodos numéricos (quadratura numérica) – especificamente a regra de Simpson composta.
O que vamos precisar:
  1. Dividir o intervalo em 4 partes iguais.
  2. Conhecer a fórmula da regra de Simpson 1/3 composta.
  3. Calcular em cada ponto.
  4. Comparar com o valor “exato” dado pela função erro (erf).

Passo 2

Primeiro, partimos o intervalo em h = b - an = 1 - 04 = 0.25 subintervalos de comprimento
x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75, x4 = 1
Os nós são

Passo 3

A fórmula da regra de Simpson 1/3 composta é
I approx h3l[f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4)r]
Aqui .

Passo 4

Vamos calcular cada f(x0)&=e^-(0)^2=1, f(x1)&=e^-(0.25)^2=e^-0.0625approx0.93941306, f(x2)&=e^-(0.5)^2=e^-0.25approx0.77880078, f(x3)&=e^-(0.75)^2=e^-0.5625approx0.56978282, f(x4)&=e^-(1)^2=e^-1approx0.36787944 :

Passo 5

Agora montamos a soma ponderada:
S &= f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) &= 1 + 4cdot0.93941306 + 2cdot0.77880078 + 4cdot0.56978282 + 0.36787944 &approx 8.96226452
Logo a aproximação fica
Irm Simpson = h3,S = 0.253times8.96226452 approx 0.74685538

Passo 6

O valor “exato” desta integral é dado em termos da função erro:
Aí o erro absoluto fica
Irm exato = integral0^1e^-x^2dx = raizpi2,erf(1) approx 0.74682413

Resposta

A aproximação por Simpson (n=4) é
Irm Simpsonapprox0.74685538,
o valor exato é
Irm exatoapprox0.74682413,
com erro absoluto de aproximadamente .

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