Questão 9 (CHAPRA, 2016 - questão 23.6 pág. 554) Use as fórmulas de diferenças finitas progressivas e centradas para estimar a derivada da função abaixo em x=2, considerando h=0.5 e h=0.25 :
F(x)=e^x cos (x). Compare com o valor exato da derivada e calcule os erros.

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente estimar a derivada de
F(x) = e^x cos(x)
em usando duas fórmulas de diferenças finitas (progressiva e centrada) para e . Depois a gente compara com o valor exato de e calcula o erro.
Conteúdo: diferenciação numérica (diferenças finitas) e cálculo da derivada exata de . Precisamos das fórmulas:
– Diferença Progressiva (forward): , erro .
– Diferença Centrada (central): , erro .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada teórica de
F(x)=e^xcos x
Usando regra do produto e cadeia:
F'(x)=ddx(e^x)cos x + e^xddx(cos x) =e^xcos x - e^xsin x =e^xl(cos x - sin xr)
Em F'(2)=e^2l(cos2 - sin2r)approx 7.389056l(-0.416147 - 0.909297r) approx -9.79300 :

Passo 3

Agora a fórmula de diferença progressiva com F'(2)approxF(2+0.5)-F(2)0.5 :
F(2.5)=e^2.5cos2.5approx12.18249cdot(-0.801144)approx-9.75680,
Calcular:
F(2)=e^2cos2approx7.38906cdot(-0.416147)approx-3.07560
F'(2)approx-9.75680 - (-3.07560)0.5 =-6.681200.5 =-13.36240
Logo
l|-13.36240 -(-9.79300)r|approx3.56940
Erro:

Passo 4

Fórmula centrada com F'(2)approxF(2+0.5)-F(2-0.5)2cdot0.5 =F(2.5)-F(1.5)1.0 :
F(1.5)=e^1.5cos1.5approx4.48169cdot0.070737approx0.31636
Já temos F'(2)approx-9.75680 - 0.316361.0 =-10.07316 .
l|-10.07316 -(-9.79300)r|approx0.28016
Então
Erro:

Passo 5

Diferença progressiva com F'(2)approxF(2.25)-F(2)0.25 :
F(2.25)=e^2.25cos2.25approx9.48774cdot(-0.628174)approx-5.95895,
Calculando:
F(2)=-3.07560 (já tinha)
F'(2)approx-5.95895 -(-3.07560)0.25 =-2.883350.25 =-11.53338 á
Logo
l|-11.53338 -(-9.79300)r|approx1.74038
Erro:

Passo 6

Diferença centrada com F'(2)approxF(2.25)-F(1.75)2cdot0.25 =F(2.25)-F(1.75)0.5 :
F(1.75)=e^1.75cos1.75approx5.75300cdot(-0.178246)approx-1.02580
Já temos F'(2)approx-5.95895 -(-1.02580)0.5 =-4.933150.5 =-9.86630 .
l|-9.86630 -(-9.79300)r|approx0.07330
Então
Erro:

Resposta

Derivada exata em : .
Estimativas e erros:
  1. Forward : , erro .
  2. Central : , erro .
  3. Forward : , erro .
  4. Central : , erro .

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